source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S2_Bloque_lineal.lyx @ 1b5b24e

#LyX 1.6.5 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Chapter
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "cha:El-bloque-lineal"

\end_inset

El bloque lineal con restricciones lineales
\end_layout

\begin_layout Standard
Casi todos los modelos de regresión contienen uno o varios bloques lineales
 que suelen acumular la mayor parte de las variables por lo que es imprescindibl
e atacar su simulación de la manera más eficiente posible, especialmente
 si se trata de matrices sparse como es bastante habitual, sobre todo en
 modelos estructurados como los modelos jerárquicos o las redes bayesianas.
 También es muy importante poder forzar restricciones en forma de inecuaciones
 sobre los parámetros de este bloque lineal.
 Para ello es necesario manejar algoritmos sumamente eficientes de generación
 de multinormales truncadas, descomposiciones de Cholesky y resolución de
 sistemas lineales sparse y densos, que permitan al mismo tiempo conjugarse
 con otros bloques de variables (Sigma, ARMA, Missing, ...) dentro del marco
 del método de simulación de Gibbs.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:LinearBlock_Antecedentes"

\end_inset

Descripción
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea el modelo de regresión lineal estandarizada de rango completo con restriccio
nes lineales
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y=X\cdot\beta+\varepsilon\\
C\cdot\beta\leq c\\
\varepsilon\sim N\left(0,I\right)\\
Y,\varepsilon\in\mathbb{R}^{m}\\
\beta\in\mathbb{R}^{n}\wedge X\in\mathbb{R}^{m\times n}\\
c\in\mathbb{R}^{\rho}\wedge C\in\mathbb{R}^{\rho\times n}\\
m>n\\
rank\left(X\right)=n\end{array}\end{equation}

\end_inset

donde 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 son los parámetros a estimar de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es el número de parámetros a estimar de la regresión,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es el número de datos de contraste del modelo y ha de ser mayor que el
 de variables,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 es el número de restricciones de inecuaciones lineales,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es la matriz de output estandarizado del modelo y es completamente conocida,
 aunque puede cambiar de una simulación para otra si estamos en el marco
 de una simulación de Gibbs con más bloques involucrados.
 Para estandarizarla normalmente se habrá dividido previamente cada segmento
 por su correspondiente parámetro de desviación típica, y también se habrá
 filtrado eventualmente de las partes no lineales: ARMA, omitidos, etc.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la matriz de iputs del modelo y es completamente conocida y de rango
 completo, aunque puede cambiar de una simulación para otra lo mismo que
 el output.
 Para estandarizarla normalmente se hará igual que con el output.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 son los residuos estandarizados del modelo cuya distribución se propone
 como hipótesis principal del mismo,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es la matriz de coeficientes de restricción, que es conocida y también
 podría cambiar en cada simulación
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 es el vector de frontera de restricción que es igualmente conocida aunque
 no necesariamente fija.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Simulación del bloque lineal de rango completo
\end_layout

\begin_layout Standard
Condicionando a la varianza 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

, la distribución de 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 es de sobras conocida y no ofrece mayores dificultades a nivel teórico,
 pues se trata simplemente de una multinormal truncada
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\beta\sim TN\left(\mu,\sigma^{2}\Sigma,C\cdot\beta\leq c\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

o bien una multinormal sin truncar si no hay restricciones, es decir, si
 
\begin_inset Formula $\rho=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\beta\sim N\left(\mu,\sigma^{2}\Sigma\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

En ambos casos la media y la matriz de covarianzas son las mismas
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Sigma=\left(X^{T}\cdot X\right)^{-1}\\
\mu=\Sigma\cdot X^{T}\cdot Y\end{array}\label{eq:media-cov-bloque-lineal}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si se dispone de una descomposición simétrica de la matriz de información,
 como podría ser la de Cholesky o cualquier otra que cumpla
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
X^{T}\cdot X=L\cdot L^{T}\\
\Sigma=L^{-T}\cdot L^{-1}\end{array}\end{equation}

\end_inset

entonces es posible definir el cambio de variable de estandarización
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\beta=L^{-T}\cdot z+\mu\\
z=L^{T}\cdot\left(\beta-\mu\right)\\
E\left[z\right]=0\\
Cov\left[z\right]=L^{T}\cdot\Sigma\cdot L=I\end{array}\label{eq:muestreo-bloque-lineal-sin-restricciones}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las restricciones sobre esta nueva variable quedarían así
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
C\cdot\left(L^{-T}\cdot z+\mu\right)\leq c\\
C\cdot L^{-T}\cdot z\leq c-C\cdot\mu\end{array}\end{equation}

\end_inset

y definiendo
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
D=C\cdot L^{-T}\\
d=c-C\cdot\mu\end{array}\end{equation}

\end_inset

se obtiene que la distribución de es una multinormal independiente truncada
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
z\sim TN\left(0,I,D\cdot z\leq d\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Algoritmo de factorización
\end_layout

\begin_layout Standard
Aunque a nivel teórico el método presentado no ofrece gran dificultad, no
 es trivial obtener la descomposición de Cholesky de una forma eficiente
 cuando el número de datos 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 y sobre todo el de variables 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 empiezan a crecer.
 Para empezar, algo tan aparentemente inofensivo como el producto 
\begin_inset Formula $X^{T}\cdot X$
\end_inset

 precisa nada menos que de 
\begin_inset Formula $n^{2}\cdot m$
\end_inset

 productos y 
\begin_inset Formula $n^{2}\cdot\left(m-1\right)$
\end_inset

 sumas de números reales.
 Con unos pocos cientos de variables y apenas unos miles de datos se va
 a los centenares de millones de operaciones.
 Cuando 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es fija a lo largo de las simulaciones no tiene ninguna importancia, pero
 si no es así hay que repetir el proceso miles o decenas de miles de veces
 con lo cual se alcanza sin dificultad los billones de operaciones aritméticas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 cambia dependiendo de forma univariante o como mucho bivariante es posible
 utilizar un método de interpolación para ahorrar tiempo de computación.
 Este es el caso de la matriz de diseño extendido de un nodo observacional
 dentro de un modelo jerárquico.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es sparse entonces existen métodos de descomposición de 
\begin_inset Formula $X^{T}\cdot X$
\end_inset

 sin necesidad de construir explícitamente el producto.
 Concretamente el paquete CHOLMOD 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Cholmod_User_Guide"

\end_inset

 dispone de un método muy eficiente tanto en la descomposición, como en
 la resolución de los sistemas triangulares asociados.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para el cálculo de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 conviene disponer los cálculos así
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\mu=L^{-T}\cdot\left(L^{-1}\cdot\left(Y^{T}\cdot X\right)\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Algoritmo de factorización precondicionada
\end_layout

\begin_layout Standard
Cuando la cadena de Markov ha convergido es de esperar que no haya grandes
 diferencias entre las matrices 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 de simulaciones consecutivas.
 Si es así puede ser de gran ayuda usar la descomposición 
\begin_inset Formula $L_{0}$
\end_inset

 de la iteración anterior como precondicionador de la actual, puesto que
 se tendrá lo siguiente
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\dot{X}=X\cdot L_{0}\\
\dot{X}^{T}\cdot\dot{X}=\dot{L}\cdot\dot{L}^{T}\simeq I\end{array}\end{equation}

\end_inset

lo cual hace suponer que las 
\begin_inset Formula $\dot{X}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dot{L}$
\end_inset

 transformadas son más sparse que las correspondientes matrices originales,
 y por tanto más rápidas de factorizar.
 Es posible que para que realmente sean sparse sea necesario truncar los
 valores próximos a 0 según un parámetro de tolerancia predefinido.
 Esto será útil también independientemente de que se precondicione o no,
 si existen circunstancias que provoquen valores próximos a 0 que puedan
 ser truncados, como por ejemplo si existe parte ARMA, puede ocurrir que
 variables originalmente sparse se conviertan en falsas densas con valores
 cercanos a 0.
 Una vez realizada esta factorización se obtendrá la original teniendo en
 cuenta que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
X^{T}\cdot X=L_{0}^{-T}\cdot\dot{X}^{T}\cdot\dot{X}\cdot L_{0}^{-1}=L_{0}^{-T}\cdot\dot{L}\cdot\dot{L}^{T}\cdot L_{0}^{-1}\end{array}\end{equation}

\end_inset

es decir
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
L=L_{0}^{-T}\cdot\dot{L}\\
L^{-1}=\dot{L}^{-1}\cdot L_{0}^{T}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En principio no sería necesario tampoco actualizar la 
\begin_inset Formula $L_{0}$
\end_inset

 en cada iteración sino tras un determinado número de iteraciones que incluso
 podría ser creciente conforme la cadena se va estabilizando.
 Un criterio razonable es el tiempo que lleva el cálculo realizado con precondic
ionamiento con respecto al tiempo que llevó la última vez que se factorizó
 la matriz 
\begin_inset Formula $X^{T}\cdot X$
\end_inset

 original.
 Mientras el tiempo sea sustancialmente menor merecerá la pena continuar
 con la misma matriz de precondicionamiento.
 Si ya la primera iteración cuesta más o apenas poco menos el método de
 factorización original, entonces se vuelve a este durante un número dado
 de iteraciones.
 Si este número se define como infinito o simplementente mayor que la longitud
 de la cadena, entonces nunca se intenta el método precondicionado y todo
 queda como estaba.
\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Algoritmo-de-simulación-trunc-multi-normal"

\end_inset

Algoritmo de simulación de la multinormal estandarizada truncada
\end_layout

\begin_layout Standard
El algoritmo utilizado para generar los 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 está basado en el 
\emph on
Sampler TN2
\emph default
 descrito en las páginas 9-11 del artículo 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Efficient_Gibbs_Sampling_Truncated_Multivariate_Normal"

\end_inset

, y de hecho es conceptualmente idéntico salvo que en la implementación
 de la fórmula 24 se evitan los productos 
\begin_inset Formula $D_{-j}\cdot z_{-j}$
\end_inset

 actualizando el vector 
\begin_inset Formula $D\cdot z$
\end_inset

 que se calcula sólo una vez al principio.
\end_layout

\begin_layout Standard
El algoritmo es el siguiente
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se parte de un vector 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 que cumple las restricciones 
\begin_inset Formula $D\cdot z\leq d$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula y almacena el producto 
\begin_inset Formula $\zeta=D\cdot z\in\mathbb{R}^{\rho}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para cada columna 
\begin_inset Formula $j=1\ldots n$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 se siguen los siguientes pasos
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Se extrae el vector 
\begin_inset Formula $\zeta^{j}=\left(D_{j,1}\cdot z_{j},\ldots,D_{j,r}\cdot z_{j}\right)^{T}\in\mathbb{R}^{r}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula 
\begin_inset Formula $\zeta^{-j}=\zeta-\zeta^{j}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula el límite inferior 
\begin_inset Formula $\begin{array}{c}
\lambda_{j}=\underset{i=1\ldots\rho}{\max}\left\{ \left.\frac{d_{i}-\zeta_{-j}}{D_{i,j}}\right|D_{i,j}<0\right\} \end{array}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula el límite superior 
\begin_inset Formula $\begin{array}{c}
\kappa_{j}=\underset{i=1\ldots\rho}{\min}\left\{ \left.\frac{d_{i}-\zeta_{i}^{-j}}{D_{i,j}}\right|D_{i,j}>0\right\} \end{array}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se simula la normal truncada estándar univariante 
\begin_inset Formula $\xi_{j}\sim TN\left(0,1,\lambda_{j},\kappa_{j}\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se modifica 
\begin_inset Formula $\zeta\leftarrow\zeta^{-j}+\left(D_{j,1}\cdot\xi_{j},\ldots,D_{j,r}\cdot\xi_{j}\right)^{T}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se modifica la componente igualándola al valor simulado 
\begin_inset Formula $z_{j}\leftarrow\xi_{j}$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Subsection
Inicialización de la cadena de Markov con una solución factible
\end_layout

\begin_layout Standard

\size large
\color red
Pendiente!!
\end_layout

\begin_layout Section
Descomposición de bloques lineales
\end_layout

\begin_layout Standard
Cuando el bloque lineal de un modelo tiene demasiadas variables puede ser
 necesario dividirlo en varias partes para acometerlo bien secuencialmente
 o bien en paralelo si sus dimensiones sobrepasan la capacidad de la máquina
 y el diseño del modelo lo permite.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Descomposición del modelo jerárquico
\end_layout

\begin_layout Standard
El modelo jerárquico HLM presentado en 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:El-modelo-jerárquico"

\end_inset

, es un caso típico de modelo divisible de forma natural.
 Cada nodo observacional es independiente del resto de nodos observacionales
 y está relacionado con una reducida selección de ecuaciones de los nodos
 latentes y a priori de forma exclusiva, es decir, cada ecuación latente
 o a priori sólo afecta a un nodo observacional como máximo, ya que alternativam
ente podría afectar a un nodo latente.
 Aunque esto mismo se podría decir para los nodos latentes de cada nivel
 con respecto al nivel superior, lo normal es que, en los modelos masivos
 donde puede ser interesante la descomposición, el tamaño relativo de la
 parte latente y a priori es insignificante con respecto a la observacional
 por lo que no es necesario descomponerlos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se dispone por tanto de una partición inconexa de las ecuaciones del modelo
 en una serie de bloques con las ecuaciones ligadas a cada nodo observacional,
 más otro bloque con el resto de ecuaciones ligadas a los nodos latentes.
 En cada bloque observacional se debe introducir las ecuaciones respetando
 los segmentos de donde provienen, es decir, debe haber un segmento para
 las ecuaciones del nodo observacional y otro segmento para las ecuaciones
 de cada nodo padre, latente o a priori.
 Nótese que la varianza de los nodos latentes que no estén fijas serán un
 parámetro más de condicionamiento externo para los bloques observacionales,
 mientras que las varianzas de estos no serán parámetros condicionantes
 del bloque de latentes, que sólo dependen de las variables del bloque lineal
 de sus hijos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta descomposición en bloques permite además ejecutar las simulaciones
 de los nodos observacionales en paralelo como bloques de Gibbs condicionados
 al bloque único de los nodos latentes, y después habría que simular éste
 bloque conjunto de latentes condicionado a todos los observacionales.
\end_layout

\begin_layout Standard
Lo dicho anteriormente reza para el modelo HLM sin restricciones de desigualdad
 ya que si existiera alguna de ellas que afectera a varios nodos al mismo
 tiempo entonces la distribución de los mismos ya no sería independiente
 y habría que mantenerlos dentro de un mismo bloque de Gibbs.
 En este caso sería necesario dividir los nodos en clases de equivalencia
 con la relación 'existe una restricción de desigualdad entre variables
 de ambos nodos'.
 En el peor de los casos se podría tener todos los nodos en una misma clase
 y no sería posible la simulación en paralelo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los nodos que estuvieran relacionados aún se podrían dividir en un bloque
 BSR para cada uno, sólo que la simulación habría que hacerla secuencial
 dentro de la clase de nodos relacionados, puesto que todos dependen de
 todos.
 Esto podría ser útil si no fuera posible almacenar en RAM el bloque conjunto
 de toda la clase de nodos relacionados.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Descomposición del modelo jerárquico con output combinado
\end_layout

\begin_layout Standard
El modelo jerárquico con output combinado HLM-OC presentado en 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:El-modelo-jerárquico-combinado"

\end_inset

, es también un modelo divisible aunque en este caso sólo son separables
 los nodos que no comparten variables con coeficiente no nulo en los bloques
 
\begin_inset Formula $\nabla_{*}^{*}$
\end_inset

 de ninguna ecuación latente ni a priori.
 En este caso sería necesario dividir los nodos en clases de equivalencia
 con la relación 'existe o bien una restricción de desigualdad, o bien una
 combinación de output latente o a priori, entre variables de ambos nodos
 '.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Simulación del bloque lineal de rango incompleto
\end_layout

\begin_layout Standard
Otro caso en el que puede ser útil descomponer un modelo BSR en varios ocurre
 cuando hay menos datos que variables en el bloque lineal, o en general,
 cuando se tiene un modelo de rango incompleto.
 Si la matriz 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 no fuera de rango completo, 
\begin_inset Formula $rank\left(X\right)=r<n$
\end_inset

 Ž, siempre que no tenga ninguna columna totalmente nula, aún sería posible
 simular los 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 rompiéndolos en 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 trozos 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
X\cdot\beta\end{array}=\left(\begin{array}{ccc}
X^{\left(1\right)} & \cdots & X^{\left(J\right)}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\beta^{\left(1\right)}\\
\vdots\\
\beta^{\left(J\right)}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Formula \begin{equation}
\beta^{(j)}\in\mathbb{R}^{n_{j}}\wedge X^{(j)}\in\mathbb{R}^{m\times n_{j}}\forall j=1\ldots J\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
elegiendo los bloques de forma que 
\begin_inset Formula \begin{equation}
n_{j}=rank\left(X_{j}\right)<m\end{equation}

\end_inset

 .
 Es decir, si hay más variables que datos hay que romper en tantos bloques
 como haga falta para que cada bloque tenga al menos tantos datos como variables
, y si hay colinealidades hay que romperlas poniendo una de las columnas
 implicadas en un bloque distinto.
\end_layout

\begin_layout Standard
En estos modelos la varianza debería ser dada como un parámetro fijo y no
 ser simulada, o bien serlo con algún tipo de restricciones o distribución
 a priori
\end_layout

\begin_layout Standard
Otra cuestión aparte es que la simulación los modelos de rango incompleto
 realmente llegue a converjer, es decir, una cosa es que se pueda simular
 algo condicionando a otro algo y otra cosa es que eso converja a alguna
 parte.
 La experiencia demuestra que incluso con modelos de rango completo pero
 con mucha correlación entre variables, la cadena no converge sino que se
 da paseos entre lo que soluciones prácticamente equivalentes.
 Si eso ocurre sin llegar a ser colineal, está claro que con rango incompleto
 es de esperar problemas de ese estilo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Incluso en el caso en que convergiera la superficie de respuesta de este
 tipo de modelos, es menor que 1, 
\begin_inset Formula $m/n<1$
\end_inset

, por lo que habría que ser extraordinariamente cautos a la hora de hacer
 inferencia con ellos, pues incluso con superficies de respuesta de 
\begin_inset Formula $m/n=10$
\end_inset

 pueden aparecer facilmente problemas de sobreajuste, de forma que se obtienen
 buenos resultados intra-muestrales pero las inferencias extra-muestrales
 son significativamente peores.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que en este caso no cabe la posibilidad de ejecución en paralelo
 ya que cada bloque depende de todos los demás, por lo que el condicionamiento
 ha de ser secuencial.
\end_layout

\begin_layout Standard
En cualquier caso, siempre que sea posible, será preferible añadir información
 a priori razonable de forma que la matriz del diseño resulte de rango completo.
 Por ejemplo, en un modelo con 
\begin_inset Formula $k_{obs}$
\end_inset

 nodos observacionales con 
\begin_inset Formula $m_{obs}$
\end_inset

 datos y 
\begin_inset Formula $n_{obs}$
\end_inset

 variables relativas a los mismos conceptos en cada nodo, si tiene sentido
 aplicar un hiperparámetro a cada una de las 
\begin_inset Formula $n_{obs}$
\end_inset

 entonces se añaden 
\begin_inset Formula $k_{obs}\cdot n_{obs}$
\end_inset

 ecuaciones latentes y si además se dispone de información a priori sobre
 dichos hiperparámetros, se agregarán otras 
\begin_inset Formula $n_{obs}$
\end_inset

 ecuaciones a priori.
\end_layout

\end_body
\end_document