#LyX 1.6.5 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 345 \begin_document \begin_header \textclass amsbook \begin_preamble %\documentclass[spanish]{article} \usepackage{babel} \usepackage{varioref} \usepackage{amssymb} \usepackage{latexsym} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{graphics} \usepackage{graphicx} \usepackage{ulem} \usepackage{color} \usepackage{multicol} \usepackage{longtable} %\usepackage{makeidx} \usepackage{hyperref} \makeindex \hypersetup{urlbordercolor=0 0 0,pdfborder=0 0 1 [3 2]} \end_preamble \use_default_options false \begin_modules theorems-ams eqs-within-sections figs-within-sections \end_modules \language spanish \inputencoding auto \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 0 \cite_engine basic \use_bibtopic false \paperorientation portrait \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \defskip medskip \quotes_language english \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \author "" \author "" \end_header \begin_body \begin_layout Chapter \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "cha:El-bloque-ARIMA" \end_inset El bloque ARIMA \end_layout \begin_layout Standard En la simulación de Gibbs de un modelo ARMA se puede utilizar el método de simulación univariante ARMS para obtener realizaciones de los parámetros ARMA, si se fuerza a que los polinomios AR y MA estén factorizados en monomios y binomios. La matriz de covarianzas de un proceso ARMA genérico de longitud \begin_inset Formula $m$ \end_inset es una matriz de Toeplitz simétrica que es más densa cuanto más cerca de la unidad estén las raíces de la parte AR. Para el caso MA puro es una matriz muy sparse de densidad aproximada \begin_inset Formula $q/m$ \end_inset . En este artículo se describe una descomposición factorial de la matriz de covarianzas en el caso ARMA general mediante matrices sparse que se obtienen con coste computacional \begin_inset Formula $O\left(n^{2}m\right)$ \end_inset , en lugar del coste \begin_inset Formula $O\left(m^{3}\right)$ \end_inset del método de Cholesky denso, donde \begin_inset Formula $n=\max\left(p,q\right)+1+p$ \end_inset , siendo \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset los grados de los polinomios AR y MA respectivamente. \end_layout \begin_layout Section \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:ArmaBlock_Antecedentes" \end_inset Descripción \end_layout \begin_layout Standard Sea el proceso ARIMA \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \phi\left(B\right)\triangle\left(B\right)w_{t}=\theta\left(B\right)e_{t}\end{array}\\ e_{t}\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\\ z_{t}=\triangle\left(B\right)w_{t}\\ \deg\left(\phi\left(B\right)\right)=p\\ \deg\left(\theta\left(B\right)\right)=q\\ t=1\ldots m\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard tal que los polinomios AR y MA se encuentran factorizados en monomios o binomios de estacionalidades \begin_inset Formula $s_{k}$ \end_inset arbitrarias de la siguiente manera \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \phi\left(B\right)=1-{\displaystyle \sum_{j=1}^{p}\phi_{j}B^{j}}={\displaystyle \prod_{k=1}^{K}\phi^{k}\left(B^{s_{k}}\right)}\\ \theta\left(B\right)=1-{\displaystyle \sum_{j=1}^{q}\theta_{j}B^{j}}={\displaystyle \prod_{k=1}^{K}\theta^{k}\left(B^{s_{k}}\right)}\\ \deg\left(\phi^{k}\left(B\right)\right)=p_{k}\\ \deg\left(\theta^{k}\left(B\right)\right)=q_{k}\\ \phi^{k}\left(B^{s_{k}}\right)=\begin{cases} 1-\phi_{1}^{k}B^{s_{k}} & si\: p_{k}=1\\ 1-\phi_{1}^{k}B^{s_{k}}-\phi_{2}^{k}B^{2s_{k}} & si\: p_{k}=2\end{cases}\\ \theta^{k}\left(B^{s_{k}}\right)=\begin{cases} 1-\theta_{1}^{k}B^{s_{k}} & si\: q_{k}=1\\ 1-\theta_{1}^{k}B^{s_{k}}-\theta_{2}^{k}B^{2s_{k}} & si\: q_{k}=2\end{cases}\\ p={\displaystyle \sum_{k=1}^{K}p_{k}s_{k}}\\ q={\displaystyle \sum_{k=1}^{K}q_{k}s_{k}}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard El método ARMS \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Ver \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "ARMS-Gilks-Best-Tan" \end_inset \end_layout \end_inset es capaz de simular cualquier distribución de probabilidad univariante dada una función proporcional a la función de densidad y el intervalo de dominio en el que se encuentra definida. Normalmente se utiliza el logaritmo de la densidad salvo una constante que ofrece la misma información con menos problemas numéricos. \end_layout \begin_layout Section \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Distribución-condicionada-de-los-valores-iniciales-ARMA" \end_inset Distribución condicionada de los valores iniciales \end_layout \begin_layout Standard Para poder evaluar la ecuación en diferencias es preciso conocer \begin_inset Formula $p$ \end_inset valores iniciales del ruido \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} z^{0}=\left\{ z_{t}\right\} _{t=1-p\ldots0}\end{array}\end{equation} \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset valores iniciales de los residuos \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} e^{0}=\left\{ e_{t}\right\} _{t=1-q\ldots0}\end{array}\in\mathbb{R}^{q}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard De esta forma se puede escribir la ecuación en diferencias en notación matricial \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{cccccccccc} -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 & & & \cdots & & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & -\phi_{1} & \ddots & \ddots & & & & \vdots\\ 0 & \cdots & -\phi_{p} & \vdots & -\phi_{1} & 1 & 0 & & & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 & & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} z_{1-p}\\ \vdots\\ z_{0}\\ z_{1}\\ \vdots\\ z_{m}\end{array}\right)\\ \\=\\ \\\left(\begin{array}{cccccccccc} -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 & & & \cdots & & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & -\theta_{1} & \ddots & \ddots & & & & \vdots\\ 0 & \cdots & -\theta_{p} & \vdots & -\theta_{1} & 1 & 0 & & & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 & & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} e_{1-q}\\ \vdots\\ e_{0}\\ z_{1}\\ \vdots\\ z_{m}\end{array}\right)\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dividiendo el sistema en bloques se puede escribir como \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \left(\begin{array}{cc} \Phi^{0} & \Phi\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} z^{0}\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \Theta^{0} & \Theta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} e^{0}\\ e\end{array}\right)\\ \Phi^{0}=\left(\begin{array}{ccc} -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & -\phi_{p}\\ 0 & \cdots & 0\\ 0 & \cdots & 0\\ \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times p}\wedge\Phi=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & & & \cdots & & 0\\ -\phi_{1} & \ddots & \ddots & & & & \vdots\\ \vdots & -\phi_{1} & 1 & 0 & & & 0\\ -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 & & 0\\ 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\\ \Theta^{0}=\left(\begin{array}{ccc} -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & -\theta_{p}\\ 0 & \cdots & 0\\ 0 & \cdots & 0\\ \vdots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times q}\wedge\Theta=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & & & \cdots & & 0\\ -\theta_{1} & \ddots & \ddots & & & & \vdots\\ \vdots & -\theta_{1} & 1 & 0 & & & 0\\ -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 & & 0\\ 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\\ z^{0}\in\mathbb{R}^{p}\wedge z\in\mathbb{R}^{p}\\ e^{0}\in\mathbb{R}^{q}\wedge e\in\mathbb{R}^{q}\end{array}\end{equation} \end_inset o lo que es lo mismo \begin_inset Formula \begin{equation} \Phi^{0}\cdot z^{0}+\Phi\cdot z=\Theta^{0}\cdot e^{0}+\Theta\cdot e\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard De la última fórmula se deduce la siguiente expresión matricial con distribución conocida \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} e=\Theta^{-1}\cdot\left(\Phi\cdot z+\Phi^{0}\cdot z^{0}-\Theta^{0}\cdot e^{0}\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}I_{m}\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si se define el vector conjunto de valores iniciales \begin_inset Formula \begin{equation} u=\left(\begin{array}{c} z^{0}\\ e^{0}\end{array}\right)\end{equation} \end_inset entonces, dados \begin_inset Formula $\sigma^{2},\phi,\theta$ \end_inset se tiene la siguiente regresión lineal \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \Pi\cdot z=G\cdot u+e\\ \Pi=\Theta^{-1}\Phi\\ G=\Theta^{-1}\left(\begin{array}{cc} -\Phi^{0}, & \Theta^{0}\end{array}\right)\end{array}u=\left(z^{0},e^{0}\right)\end{equation} \end_inset con lo que su distribución condicionada es \begin_inset Formula \begin{equation} u\begin{array}{c} \left|\phi,\theta,\sigma^{2}\right.\sim N\left(\frac{1}{\sigma^{2}}\left(G^{T}\cdot G\right)^{-1}\cdot G^{T}\cdot\Pi\cdot z,\;\frac{1}{\sigma^{2}}\left(G^{T}\cdot G\right)^{-1}\right)\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nótese que las matrices \begin_inset Formula $\Phi^{0},\Theta^{0},\Phi,\Theta$ \end_inset son matrices de Toeplitz triangulares por lo que las operaciones de productos y resolución de sistemas lineales son desarrollables como ecuaciones en diferencias. \end_layout \begin_layout Section \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Distribución-condicionada-de-los-parámetros-ARMA" \end_inset Distribución condicionada de los parámetros ARMA \end_layout \begin_layout Standard Dados la varianza \begin_inset Formula $\sigma^{2}$ \end_inset , los valores iniciales \begin_inset Formula $u$ \end_inset y todos los parámetros ARMA salvo uno cualquiera de ellos, digamos \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , por el teorema de Bayes, el logaritmo de su densidad condicionada al resto de parámetros es proporcional a la de los residuos resultantes de aplicar la ecuación en diferencias para cada posible valor de dicho parámetro, que tomando logaritmos es \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \lg f\left(\vartheta\right)=Cte_{1}-\frac{m}{2}\lg2\pi\sigma^{2}-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)=Cte-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un valor cualquiera de \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset quedan completamente determinados los polinomios \begin_inset Formula $\phi,\theta$ \end_inset ; así que es posible calcular los residuos, para lo cual no es preciso recurrir a la fórmula del párrafo anterior, pues resulta evidente que es completamente equivalente a despejar los residuos en la ecuación en diferencias del modelo \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} e_{t}={\displaystyle z_{t}-\sum_{j=1}^{p}\phi_{j}z_{t-j}+\sum_{j=1}^{q}\theta_{j}e_{t-j}}\end{equation} \end_inset que da un método de cálculo mucho más eficiente de los mismos. \end_layout \begin_layout Standard Si existe información a priori o de tipo latente sobre todos o algunos de los parámetros \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , sólo es necesario poder escribirla en términos de una distribución normal univariante \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \vartheta\sim N\left(\mu_{\vartheta},\sigma_{\vartheta}^{2}\right)\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard En el caso de ser información a priori \begin_inset Formula $\mu_{\vartheta}$ \end_inset será constante y si es latente será el valor actual del correspondiente hiperparámetro o combinación lineal de hiperparámetros. Esto se traduce a una simple ampliación de los residuos estandarizados \begin_inset Formula \begin{equation} \lg f\left(\vartheta\right)=Cte-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\vartheta-\mu_{\vartheta}}{\sigma_{\vartheta}}\right)^{2}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Dominio-de-estacionariedad" \end_inset Dominio de estacionariedad de monomios y binomios \end_layout \begin_layout Standard Para poder aplicar el método ARMS es necesario además explicitar en qué dominio es evaluable la función de densidad, lo cual en este caso consiste en saber en qué intervalo es estacionario el factor polinomial al que pertenece el parámetro \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset de turno. Basta recordar que un polinomio es estacionario si todas sus raíces están fuera del círculo unidad. En los casos de grado 1 y 2 se puede establecer esa condición de una forma analítica. \end_layout \begin_layout Standard En un monomio de la forma \begin_inset Formula $1-\alpha x$ \end_inset esto se cumple sí y sólo sí \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \alpha x-1=0\Longleftrightarrow x=\frac{1}{\alpha}\\ \left\Vert x\right\Vert _{2}>1\Longleftrightarrow\left|\alpha\right|<1\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard En un binomio de la forma \begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$ \end_inset esto se cumple sí y sólo sí \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \alpha x^{2}+\beta x-1=0\Longleftrightarrow x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}\\ \left\Vert x\right\Vert _{2}>1\Longleftrightarrow\left\Vert \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}\right\Vert _{2}>1\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_2" \end_inset \begin_inset Graphics filename stationarity-pol-deg-2.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset Gráfico de simulaciones de polinomios estacionarios de grado 2. El sector parabólico inferior corresponde a las raíces complejas y el resto hacia arriba a las reales. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $4\alpha<\beta^{2}$ \end_inset las raíces son complejas conjugadas y su módulo es el mismo para ambas \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \left\Vert \frac{-\beta\pm\boldsymbol{\mathrm{i}}\sqrt{-\left(\beta^{2}+4\alpha\right)}}{2\alpha}\right\Vert _{2}^{2}=\frac{\left|\beta\right|^{2}+\left|\beta^{2}+4\alpha\right|}{4\alpha^{2}}=\frac{\beta^{2}-\beta^{2}-4\alpha}{4\alpha^{2}}=\frac{-1}{\alpha}>1\Longleftrightarrow\alpha>-1\\ -1<\alpha<\frac{\beta^{2}}{4}\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $4\alpha>\beta^{2}$ \end_inset las raíces son reales y su módulo puede ser distinto para cada una. Las fronteras de la región se completan resolviendo las ecuaciones \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}=1\Longleftrightarrow\alpha=1-\beta\\ \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}=-1\Longleftrightarrow\alpha=1+\beta\end{array}\end{equation} \end_inset Las condiciones de estacionariedad son por tanto las siguientes (ver figura \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_2" \end_inset ): \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $\vartheta=\alpha$ \end_inset es un parámetro de un monomio \begin_inset Formula $1-\alpha x$ \end_inset entonces la anterior fórmula es evaluable en \begin_inset Formula $\alpha\in\left(-1,1\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $\vartheta=\alpha$ \end_inset es el parámetro de orden 2 de un binomio \begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$ \end_inset entonces la región factible es en \begin_inset Formula $\alpha\in\left(-1,1-\left|\beta\right|\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $\vartheta=\beta$ \end_inset es el parámetro de orden 1 de un binomio \begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$ \end_inset entonces es estacionario en \begin_inset Formula $\beta\in\left(\alpha-1,1-\alpha\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_6-1" \end_inset \begin_inset Graphics filename stationarity-pol-deg-6_z1.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset El ruido AR gaussiano con el polinomio \begin_inset Formula \[ \begin{array}{c} p\left(B\right)=1+\alpha_{1}B+\alpha_{2}B^{2}+\alpha_{3}B^{3}+\alpha_{4}B^{4}+\alpha_{5}B^{5}+\alpha_{6}B^{6}\\ \alpha_{2}=0.4208976407813203\\ \alpha_{3}=-0.07979027150930651\\ \alpha_{4}=-0.524509273364506\\ \alpha_{5}=0.1794384784972413\\ \alpha_{6}=0.01042162544590616\end{array}\] \end_inset en \begin_inset Formula $\alpha_{1}=-0.5$ \end_inset es claramente estacionario \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_6-2" \end_inset \begin_inset Graphics filename stationarity-pol-deg-6_z2.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset El ruido AR gaussiano con el polinomio anterior en \begin_inset Formula $\alpha_{1}=+0.3$ \end_inset es claramente no estacionario \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_6-3" \end_inset \begin_inset Graphics filename stationarity-pol-deg-6_z3.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset El ruido AR gaussiano con el polinomio anterior en \begin_inset Formula $\alpha_{1}=+0.7$ \end_inset vuelve a ser estacionario, luego el dominio de estacioanriedad es inconexo \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_3" \end_inset \begin_inset Graphics filename stationarity-pol-deg-6_indicator.PNG scale 50 \end_inset \end_layout \end_inset Diagrama de estacionariedad con respecto al coeficiente \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset del polinomio de los ejemplos anteriores. El dominio de estacionariedad no es una región conexa. Fijado los coeficientes de gradso 2 al 6 no está delimitado en un intervalo sino en la unión de dos intervalos inconexos y no se puede aplicar el método ARMS \end_layout \end_inset La razón por la que se obliga a disponer de factores de grado máximo 2 es que la región de estacionariedad de un polinomio de grado 1 es simplemente el intervalo \begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$ \end_inset y para grado 2 es un triángulo, lo cual permite, una vez fijado uno de los parámetros obtener el intervalo en el que el otro permanece en la región de estacionariedad. Para grados superiores las regiones son complicadas de definir analíticamente por lo que resulta bastante complicado fijar el intervalo de estacionariedad de cada parámetro condicionado al resto (ver figura \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_3" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Por el teorema fundamental del álgebra todo polinomio de coeficientes reales es factorizable en monomios y binomios, por lo cual esta exigencia no supone ninguna restricción en la clase de modelos. Incuso es posible forzar la presencia de raíces reales imponiendo la factorizac ión en binomios si es que existe alguna razón de peso para pensar que debe ser así. \end_layout \begin_layout Section \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Condicionamiento-a-los-ARMA" \end_inset Condicionamiento a los parametros ARMA \end_layout \begin_layout Standard El modelo ARIMA con función de transferencia lineal se puede escribir así \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} \triangle\cdot Y=\triangle\cdot X\cdot\beta+z\\ z\sim N\left(0,\sigma^{2}\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\right)\end{array}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard donde \begin_inset Formula \begin{equation} \Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=\left\{ \sigma_{i,j}\left(\phi,\theta\right)=\gamma_{i-j}\left(\phi,\theta\right)\right\} _{i,j=1\ldots m}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard es la matriz de covarianzas de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset de la serie estandarizada \begin_inset Formula $Z/\sigma$ \end_inset , que depende exclusivamente de \begin_inset Formula $\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset y es la matriz de Toeplitz generada por las autocovarianzas del proceso ARMA \begin_inset Formula \begin{equation} \left\{ \gamma_{k}\left(\phi,\theta\right)=E\left[z_{t},z_{t-k}\right]\right\} _{k=0,1,2,\ldots}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard que son los coeficientes del polinomio de retardo infinito simétrico \begin_inset Formula \begin{equation} \gamma\left(B+F\right)=\frac{\theta\left(B\right)\theta\left(F\right)}{\phi\left(B\right)\phi\left(F\right)}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Vista la matriz de covarianzas de una forma más gráfica quedaría así: \begin_inset Formula \begin{equation} \Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \gamma_{0} & \gamma_{1} & \gamma_{2} & \cdots & \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1} & \gamma_{0} & \gamma_{1} & \ddots & \vdots\\ \gamma_{2} & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \ddots & \gamma_{2}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \gamma_{1}\\ \gamma_{m-1} & \cdots & \gamma_{2} & \gamma_{1} & \gamma_{0}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si se dispone de una descomposición simétrica como la de Cholesky \begin_inset Formula \begin{equation} \Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,\theta,m\right)\end{equation} \end_inset ésta se podrá emplear para filtrar las matrices de input y output de la regresión lineal, resolviendo sistemas lineales en \begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} Y^{'}=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\triangle\cdot Y\\ X^{'}=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\triangle\cdot X\\ e=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)Z\end{array}\end{equation} \end_inset resultando la regresión lineal \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \begin{array}{c} Y^{'}=X^{'}\cdot\beta+e\\ e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation} \end_inset que permite realizar la simulación de los parámetros lineales y la varianza condicionados a los parámetros ARMA. \end_layout \begin_layout Standard Efectuar la descomposición de Cholesky genérica tendría complejidad cúbica en el orden de la matriz \begin_inset Formula $O\left(m^{3}\right)$ \end_inset y aunque existen diferentes métodos de calcular la descomposición de Cholesky con complejidades superlineales \begin_inset Formula $O\left(m\cdot\lg^{2}m\right)$ \end_inset , luego la matriz \begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset no tiene ninguna estructura especial y la resolución de los sistemas referidos tiene complejidad cuadrática \begin_inset Formula $O\left(m^{2}\right)$ \end_inset , lo cual supone tiempos de cálculo insoportables con apenas unos cientos de datos. \end_layout \begin_layout Standard A continuación se presenta un método implícito de descomposición sintética mucho más rápido de obtener los mismos resultados. \end_layout \begin_layout Subsection \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Descomposición-sintética" \end_inset Descomposición sintética \end_layout \begin_layout Paragraph* Lema 1 \end_layout \begin_layout Standard Dada la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianzas de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset del proceso AR puro \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \Sigma\left(\phi,1,m\right)=L\left(\phi,1,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation} \end_inset la inversa de dicha descomposición \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset para cualquier \begin_inset Formula $m>n=\max\left(p,q\right)+1+p$ \end_inset es de Toeplitz a partir de la fila \begin_inset Formula $n$ \end_inset por lo que es conocida sin coste adicional alguno sin más que repetir en cada fila de \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset los valores de la fila \begin_inset Formula $n$ \end_inset desplazados una columna hacia delante: \begin_inset Formula \begin{equation} L^{-1}\left(\phi,1,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \vartheta_{1,1} & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vartheta_{n,1} & \cdots & \vartheta_{n,n} & & 0\\ \vdots & \ddots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \vartheta_{n,1} & \cdots & \vartheta_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Eso la convierte además en una matriz de Toeplitz de bandas con ceros fuera de las \begin_inset Formula $n$ \end_inset primeras bandas que es muy sparse cuando crece \begin_inset Formula $m$ \end_inset pues el número de datos no ceros es menor que \begin_inset Formula $n\cdot m$ \end_inset . Nótese que la matriz de descomposición \begin_inset Formula $L\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset propiamente dicha no es sparse en general, aunque para raíces muy lejanas del círculo unidad los términos más alejados de la unidad se acercan rápidament e a cero. \end_layout \begin_layout Paragraph* Lema 2 \end_layout \begin_layout Standard La matriz de covarianzas de orden \begin_inset Formula $m>n$ \end_inset del proceso ARMA filtrada simétricamente de la descomposición de las covarianza s del proceso AR puro, es decir, \begin_inset Formula \begin{equation} \Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation} \end_inset también es simétrica y de Toeplitz partir de la fila y columna \begin_inset Formula $n$ \end_inset por lo que es conocida sin coste adicional alguno, una vez calculada \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset , sin más que repetir en cada fila (y columna) los valores de la fila (y columna) \begin_inset Formula $n$ \end_inset desplazados una columna (fila) hacia delante (abajo). Se trata por ende de una matriz de Toeplitz de bandas con ceros fuera de las \begin_inset Formula $n$ \end_inset primeras bandas que es muy sparse cuando crece \begin_inset Formula $m$ \end_inset pues el número de datos no ceros es menor que \begin_inset Formula $\left(2\cdot n-1\right)\cdot m$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{equation} \Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \upsilon_{1,1} & \cdots & \upsilon_{n,1} & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \upsilon_{n,1} & \cdots & \upsilon_{n,n} & & \upsilon_{n,1}\\ \vdots & \ddots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \upsilon_{n,1} & \cdots & \upsilon_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Por construcción del método de Cholesky \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset se tiene que el factor \begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset es igualmente de bandas con ceros fuera de las \begin_inset Formula $n$ \end_inset primeras bandas, siendo el número de datos no ceros menor que \begin_inset Formula $n\cdot m$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{equation} \Lambda\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{1,1} & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} & & 0\\ \vdots & \ddots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Paragraph* Corolario 1 \end_layout \begin_layout Standard Mezclando las dos fórmulas anteriores \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} L\left(\phi,1,m\right)\cdot\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,m\right)=\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,\theta,M\right)\cdot L^{T}\left(\phi,\theta,M\right)\end{equation} \end_inset se obtiene de forma inmediata una expresión de la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianzas para cualquier entero \begin_inset Formula $m$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} L\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,1,m\right)\cdot\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\end{equation} \end_inset que, aunque no es en general sparse. \end_layout \begin_layout Paragraph* Corolario 2 \end_layout \begin_layout Standard Sin embargo sí que permite un mecanismo de filtrado sparse en dos fases. En el caso del filtrado ARMA comentado anteriormente se tiene que calcular \begin_inset Formula $V$ \end_inset dado \begin_inset Formula $U$ \end_inset de forma que \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} U=L\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para ello se calcula primero \begin_inset Formula \begin{equation} W=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot U=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation} \end_inset teniendo en cuenta que \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset es sparse, para luego despejar \begin_inset Formula $V$ \end_inset en el sistema sparse \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} W=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Paragraph* Corolario 3 \end_layout \begin_layout Standard En un proceso AR puro es \begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)=I_{m}$ \end_inset y \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Paragraph* Corolario 4 \end_layout \begin_layout Standard En un proceso MA puro es \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)=I_{m}$ \end_inset y \begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Algoritmo-de-la-descomposición-ARMA-sintética" \end_inset Algoritmo de la descomposición ARMA sintética \end_layout \begin_layout Subparagraph* Entrada \end_layout \begin_layout Standard Los polinomios \begin_inset Formula $\phi,\theta$ \end_inset y el tamaño de la serie \begin_inset Formula $m$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subparagraph* Salida \end_layout \begin_layout Standard Dos matrices sparse \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subparagraph* Método \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula \begin_inset Formula $n=\max\left(p,q\right)+1+p$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula \begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula la descomposición de Cholesky de orden \begin_inset Formula $n$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,1,n\right)=L\left(\phi,1,n\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset que será en general más densa cuanto más cerca de la unidad estén las raíces \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset , siendo la complejidad máxima de este paso \begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula la inversa de dicha descomposición \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset con coste \begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$ \end_inset a lo peor. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $m>n$ \end_inset entonces se expande la última fila de \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset otras \begin_inset Formula $m-n$ \end_inset veces para formar la matriz sparse \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset . De lo contrario se extrae como el menor principal de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset . El número de celdas no nulas a almacenar es como máximo \begin_inset Formula $n\cdot m$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula \begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,\theta,n\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,n\right)=L^{-1}\left(\phi,1,n\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,n\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,n\right)$ \end_inset lo cual conlleva un coste menor o igual que \begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $m>n$ \end_inset entonces se expanden las últimas fila y columna de \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,n\right)$ \end_inset otras \begin_inset Formula $m-n$ \end_inset veces para formar la matriz sparse simétrica \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset . De lo contrario se extrae como el menor principal de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula la descomposición de Cholesky de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset de la matriz sparse \begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset con complejidad \begin_inset Formula $O\left(n^{2}m\right)$ \end_inset y tamaño a almacenar de \begin_inset Formula $n\cdot m$ \end_inset celdas como máximo \end_layout \begin_layout Subsection \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Algoritmo-de-filtrado ARMA sintético" \end_inset Algoritmo de filtrado ARMA sintético \end_layout \begin_layout Subparagraph* Entrada \end_layout \begin_layout Standard Las matrices sparse \begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$ \end_inset generadas por el algoritmo anterior \end_layout \begin_layout Standard La matriz o vector \begin_inset Formula $U$ \end_inset a filtrar, que puede ser densa o sparse. \end_layout \begin_layout Subparagraph* Salida \end_layout \begin_layout Standard La matriz filtrada \begin_inset Formula $V=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot Z$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subparagraph* Método \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula el producto de matriz sparse por matriz o vector \begin_inset Formula $W=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot Z$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Se resuelve el sistema triangular sparse \begin_inset Formula $W=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V$ \end_inset \end_layout \end_body \end_document