source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S4_Bloque_ARIMA.lyx @ 0a96e75

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\begin_layout Chapter
\begin_inset LatexCommand label
name "cha:El-bloque-ARIMA"

\end_inset

El bloque ARIMA
\end_layout

\begin_layout Standard
En la simulación de Gibbs de un modelo ARMA se puede utilizar el método
 de simulación univariante ARMS para obtener realizaciones de los parámetros
 ARMA, si se fuerza a que los polinomios AR y MA estén factorizados en monomios
 y binomios.
 La matriz de covarianzas de un proceso ARMA genérico de longitud 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es una matriz de Toeplitz simétrica que es más densa cuanto más cerca de
 la unidad estén las raíces de la parte AR.
 Para el caso MA puro es una matriz muy sparse de densidad aproximada 
\begin_inset Formula $q/m$
\end_inset

.
 En este artículo se describe una descomposición factorial de la matriz
 de covarianzas en el caso ARMA general mediante matrices sparse que se
 obtienen con coste computacional 
\begin_inset Formula $O\left(n^{2}m\right)$
\end_inset

, en lugar del coste 
\begin_inset Formula $O\left(m^{3}\right)$
\end_inset

 del método de Cholesky denso, donde 
\begin_inset Formula $n=\max\left(p,q\right)+1+p$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 los grados de los polinomios AR y MA respectivamente.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:ArmaBlock_Antecedentes"

\end_inset

Descripción
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea el proceso ARIMA
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\phi\left(B\right)\triangle\left(B\right)w_{t}=\theta\left(B\right)e_{t}\end{array}\\
e_{t}\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\\
z_{t}=\triangle\left(B\right)w_{t}\\
\deg\left(\phi\left(B\right)\right)=p\\
\deg\left(\theta\left(B\right)\right)=q\\
t=1\ldots m\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
tal que los polinomios AR y MA se encuentran factorizados en monomios o
 binomios de estacionalidades 
\begin_inset Formula $s_{k}$
\end_inset

 arbitrarias de la siguiente manera
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\phi\left(B\right)=1-{\displaystyle \sum_{j=1}^{p}\phi_{j}B^{j}}={\displaystyle \prod_{k=1}^{K}\phi^{k}\left(B^{s_{k}}\right)}\\
\theta\left(B\right)=1-{\displaystyle \sum_{j=1}^{q}\theta_{j}B^{j}}={\displaystyle \prod_{k=1}^{K}\theta^{k}\left(B^{s_{k}}\right)}\\
\deg\left(\phi^{k}\left(B\right)\right)=p_{k}\\
\deg\left(\theta^{k}\left(B\right)\right)=q_{k}\\
\phi^{k}\left(B^{s_{k}}\right)=\begin{cases}
1-\phi_{1}^{k}B^{s_{k}} & si\: p_{k}=1\\
1-\phi_{1}^{k}B^{s_{k}}-\phi_{2}^{k}B^{2s_{k}} & si\: p_{k}=2\end{cases}\\
\theta^{k}\left(B^{s_{k}}\right)=\begin{cases}
1-\theta_{1}^{k}B^{s_{k}} & si\: q_{k}=1\\
1-\theta_{1}^{k}B^{s_{k}}-\theta_{2}^{k}B^{2s_{k}} & si\: q_{k}=2\end{cases}\\
p={\displaystyle \sum_{k=1}^{K}p_{k}s_{k}}\\
q={\displaystyle \sum_{k=1}^{K}q_{k}s_{k}}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El método ARMS
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Standard
Ver
\begin_inset LatexCommand cite
key "ARMS-Gilks-Best-Tan"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 es capaz de simular cualquier distribución de probabilidad univariante
 dada una función proporcional a la función de densidad y el intervalo de
 dominio en el que se encuentra definida.
 Normalmente se utiliza el logaritmo de la densidad salvo una constante
 que ofrece la misma información con menos problemas numéricos.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sec:Distribución-condicionada-de-los-valores-iniciales-ARMA"

\end_inset

Distribución condicionada de los valores iniciales
\end_layout

\begin_layout Standard
Para poder evaluar la ecuación en diferencias es preciso conocer 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 valores iniciales del ruido
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
z^{0}=\left\{ z_{t}\right\} _{t=1-p\ldots0}\end{array}\end{equation}

\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 valores iniciales de los residuos
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
e^{0}=\left\{ e_{t}\right\} _{t=1-q\ldots0}\end{array}\in\mathbb{R}^{q}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De esta forma se puede escribir la ecuación en diferencias en notación matricial
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cccccccccc}
-\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 &  &  & \cdots &  & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & -\phi_{1} & \ddots & \ddots &  &  &  & \vdots\\
0 & \cdots & -\phi_{p} & \vdots & -\phi_{1} & 1 & 0 &  &  & 0\\
0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 &  & 0\\
0 & \cdots & 0 & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots &  & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
z_{1-p}\\
\vdots\\
z_{0}\\
z_{1}\\
\vdots\\
z_{m}\end{array}\right)\\
\\=\\
\\\left(\begin{array}{cccccccccc}
-\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 &  &  & \cdots &  & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & -\theta_{1} & \ddots & \ddots &  &  &  & \vdots\\
0 & \cdots & -\theta_{p} & \vdots & -\theta_{1} & 1 & 0 &  &  & 0\\
0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 &  & 0\\
0 & \cdots & 0 & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots &  & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
e_{1-q}\\
\vdots\\
e_{0}\\
z_{1}\\
\vdots\\
z_{m}\end{array}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dividiendo el sistema en bloques se puede escribir como
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc}
\Phi^{0} & \Phi\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
z^{0}\\
z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\Theta^{0} & \Theta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
e^{0}\\
e\end{array}\right)\\
\Phi^{0}=\left(\begin{array}{ccc}
-\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & -\phi_{p}\\
0 & \cdots & 0\\
0 & \cdots & 0\\
\vdots &  & \vdots\\
0 & \cdots & 0\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times p}\wedge\Phi=\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 &  &  & \cdots &  & 0\\
-\phi_{1} & \ddots & \ddots &  &  &  & \vdots\\
\vdots & -\phi_{1} & 1 & 0 &  &  & 0\\
-\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & 0 &  & 0\\
0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & -\phi_{p} & \cdots & -\phi_{1} & 1\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\\
\Theta^{0}=\left(\begin{array}{ccc}
-\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & -\theta_{p}\\
0 & \cdots & 0\\
0 & \cdots & 0\\
\vdots &  & \vdots\\
0 & \cdots & 0\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times q}\wedge\Theta=\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 0 &  &  & \cdots &  & 0\\
-\theta_{1} & \ddots & \ddots &  &  &  & \vdots\\
\vdots & -\theta_{1} & 1 & 0 &  &  & 0\\
-\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & 0 &  & 0\\
0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & -\theta_{p} & \cdots & -\theta_{1} & 1\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\\
z^{0}\in\mathbb{R}^{p}\wedge z\in\mathbb{R}^{p}\\
e^{0}\in\mathbb{R}^{q}\wedge e\in\mathbb{R}^{q}\end{array}\end{equation}

\end_inset

o lo que es lo mismo
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Phi^{0}\cdot z^{0}+\Phi\cdot z=\Theta^{0}\cdot e^{0}+\Theta\cdot e\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De la última fórmula se deduce la siguiente expresión matricial con distribución
 conocida
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
e=\Theta^{-1}\cdot\left(\Phi\cdot z+\Phi^{0}\cdot z^{0}-\Theta^{0}\cdot e^{0}\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}I_{m}\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si se define el vector conjunto de valores iniciales 
\begin_inset Formula \begin{equation}
u=\left(\begin{array}{c}
z^{0}\\
e^{0}\end{array}\right)\end{equation}

\end_inset

entonces, dados 
\begin_inset Formula $\sigma^{2},\phi,\theta$
\end_inset

 se tiene la siguiente regresión lineal 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Pi\cdot z=G\cdot u+e\\
\Pi=\Theta^{-1}\Phi\\
G=\Theta^{-1}\left(\begin{array}{cc}
-\Phi^{0}, & \Theta^{0}\end{array}\right)\end{array}u=\left(z^{0},e^{0}\right)\end{equation}

\end_inset

con lo que su distribución condicionada es
\begin_inset Formula \begin{equation}
u\begin{array}{c}
\left|\phi,\theta,\sigma^{2}\right.\sim N\left(\frac{1}{\sigma^{2}}\left(G^{T}\cdot G\right)^{-1}\cdot G^{T}\cdot\Pi\cdot z,\;\frac{1}{\sigma^{2}}\left(G^{T}\cdot G\right)^{-1}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que las matrices 
\begin_inset Formula $\Phi^{0},\Theta^{0},\Phi,\Theta$
\end_inset

 son matrices de Toeplitz triangulares por lo que las operaciones de productos
 y resolución de sistemas lineales son desarrollables como ecuaciones en
 diferencias.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sec:Distribución-condicionada-de-los-parámetros-ARMA"

\end_inset

Distribución condicionada de los parámetros ARMA
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados la varianza 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

, los valores iniciales 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 y todos los parámetros ARMA salvo uno cualquiera de ellos, digamos 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, por el teorema de Bayes, el logaritmo de su densidad condicionada al resto
 de parámetros es proporcional a la de los residuos resultantes de aplicar
 la ecuación en diferencias para cada posible valor de dicho parámetro,
 que tomando logaritmos es
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\lg f\left(\vartheta\right)=Cte_{1}-\frac{m}{2}\lg2\pi\sigma^{2}-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)=Cte-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un valor cualquiera de 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 quedan completamente determinados los polinomios 
\begin_inset Formula $\phi,\theta$
\end_inset

; así que es posible calcular los residuos, para lo cual no es preciso recurrir
 a la fórmula del párrafo anterior, pues resulta evidente que es completamente
 equivalente a despejar los residuos en la ecuación en diferencias del modelo
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
e_{t}={\displaystyle z_{t}-\sum_{j=1}^{p}\phi_{j}z_{t-j}+\sum_{j=1}^{q}\theta_{j}e_{t-j}}\end{equation}

\end_inset

que da un método de cálculo mucho más eficiente de los mismos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si existe información a priori o de tipo latente sobre todos o algunos de
 los parámetros 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, sólo es necesario poder escribirla en términos de una distribución normal
 univariante 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\vartheta\sim N\left(\mu_{\vartheta},\sigma_{\vartheta}^{2}\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En el caso de ser información a priori 
\begin_inset Formula $\mu_{\vartheta}$
\end_inset

 será constante y si es latente será el valor actual del correspondiente
 hiperparámetro o combinación lineal de hiperparámetros.
 Esto se traduce a una simple ampliación de los residuos estandarizados
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\lg f\left(\vartheta\right)=Cte-\frac{1}{2\sigma^{2}}e\left(\vartheta\right)^{T}e\left(\vartheta\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\vartheta-\mu_{\vartheta}}{\sigma_{\vartheta}}\right)^{2}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Dominio-de-estacionariedad"

\end_inset

Dominio de estacionariedad de monomios y binomios
\end_layout

\begin_layout Standard
Para poder aplicar el método ARMS es necesario además explicitar en qué
 dominio es evaluable la función de densidad, lo cual en este caso consiste
 en saber en qué intervalo es estacionario el factor polinomial al que pertenece
 el parámetro 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 de turno.
 Basta recordar que un polinomio es estacionario si todas sus raíces están
 fuera del círculo unidad.
 En los casos de grado 1 y 2 se puede establecer esa condición de una forma
 analítica.
\end_layout

\begin_layout Standard
En un monomio de la forma 
\begin_inset Formula $1-\alpha x$
\end_inset

 esto se cumple sí y sólo sí
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\alpha x-1=0\Longleftrightarrow x=\frac{1}{\alpha}\\
\left\Vert x\right\Vert _{2}>1\Longleftrightarrow\left|\alpha\right|<1\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En un binomio de la forma 
\begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$
\end_inset

 esto se cumple sí y sólo sí
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\alpha x^{2}+\beta x-1=0\Longleftrightarrow x=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}\\
\left\Vert x\right\Vert _{2}>1\Longleftrightarrow\left\Vert \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}\right\Vert _{2}>1\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Standard
\begin_inset Caption

\begin_layout Standard
\begin_inset LatexCommand label
name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_2"

\end_inset


\begin_inset Graphics
        filename stationarity-pol-deg-2.PNG
        scale 50

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Gráfico de simulaciones de polinomios estacionarios de grado 2.
 El sector parabólico inferior corresponde a las raíces complejas y el resto
 hacia arriba a las reales.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $4\alpha<\beta^{2}$
\end_inset

 las raíces son complejas conjugadas y su módulo es el mismo para ambas
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\left\Vert \frac{-\beta\pm\boldsymbol{\mathrm{i}}\sqrt{-\left(\beta^{2}+4\alpha\right)}}{2\alpha}\right\Vert _{2}^{2}=\frac{\left|\beta\right|^{2}+\left|\beta^{2}+4\alpha\right|}{4\alpha^{2}}=\frac{\beta^{2}-\beta^{2}-4\alpha}{4\alpha^{2}}=\frac{-1}{\alpha}>1\Longleftrightarrow\alpha>-1\\
-1<\alpha<\frac{\beta^{2}}{4}\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $4\alpha>\beta^{2}$
\end_inset

 las raíces son reales y su módulo puede ser distinto para cada una.
 Las fronteras de la región se completan resolviendo las ecuaciones 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}=1\Longleftrightarrow\alpha=1-\beta\\
\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\alpha}}{2\alpha}=-1\Longleftrightarrow\alpha=1+\beta\end{array}\end{equation}

\end_inset

Las condiciones de estacionariedad son por tanto las siguientes (ver figura
 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_2"

\end_inset

):
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vartheta=\alpha$
\end_inset

 es un parámetro de un monomio 
\begin_inset Formula $1-\alpha x$
\end_inset

 entonces la anterior fórmula es evaluable en 
\begin_inset Formula $\alpha\in\left(-1,1\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vartheta=\alpha$
\end_inset

 es el parámetro de orden 2 de un binomio 
\begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$
\end_inset

 entonces la región factible es en 
\begin_inset Formula $\alpha\in\left(-1,1-\left|\beta\right|\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vartheta=\beta$
\end_inset

 es el parámetro de orden 1 de un binomio 
\begin_inset Formula $1-\beta x-\alpha x^{2}$
\end_inset

 entonces es estacionario en 
\begin_inset Formula $\beta\in\left(\alpha-1,1-\alpha\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement H
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Standard
\begin_inset Caption

\begin_layout Standard
\begin_inset LatexCommand label
name "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_3"

\end_inset


\begin_inset Graphics
        filename stationarity-pol-deg-3.PNG
        scale 50

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Gráfico de simulaciones de polinomios estacionarios de grado 3.
 El dominio de estacionariedad no es una región conexa.
 Fijado el coeficiente de grado 2 el de grado 3 no está delimitado en un
 intervalo sino en la unión de dos intervalos inconexos y no se puede aplicar
 el método ARMS
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La razón por la que se obliga a disponer de factores de grado máximo 2 es
 que la región de estacionariedad de un polinomio de grado 1 es simplemente
 el intervalo 
\begin_inset Formula $\left[-1,1\right]$
\end_inset

 y para grado 2 es un triángulo, lo cual permite, una vez fijado uno de
 los parámetros obtener el intervalo en el que el otro permanece en la región
 de estacionariedad.
 Para grados superiores las regiones son complicadas de definir analíticamente
 por lo que resulta bastante complicado fijar el intervalo de estacionariedad
 de cada parámetro condicionado al resto (ver figura 
\begin_inset LatexCommand ref
reference "fig:Gráfico-de-simulaciones-grado_3"

\end_inset

).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Por el teorema fundamental del álgebra todo polinomio de coeficientes reales
 es factorizable en monomios y binomios, por lo cual esta exigencia no supone
 ninguna restricción en la clase de modelos.
 Incuso es posible forzar la presencia de raíces reales imponiendo la factorizac
ión en binomios si es que existe alguna razón de peso para pensar que debe
 ser así.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Condicionamiento-a-los-ARMA"

\end_inset

Condicionamiento a los parametros ARMA
\end_layout

\begin_layout Standard
El modelo ARIMA con función de transferencia lineal se puede escribir así
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
\triangle\cdot Y=\triangle\cdot X\cdot\beta+z\\
z\sim N\left(0,\sigma^{2}\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
donde 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=\left\{ \sigma_{i,j}\left(\phi,\theta\right)=\gamma_{i-j}\left(\phi,\theta\right)\right\} _{i,j=1\ldots m}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
es la matriz de covarianzas de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 de la serie estandarizada 
\begin_inset Formula $Z/\sigma$
\end_inset

, que depende exclusivamente de 
\begin_inset Formula $\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 y es la matriz de Toeplitz generada por las autocovarianzas del proceso
 ARMA
\begin_inset Formula \begin{equation}
\left\{ \gamma_{k}\left(\phi,\theta\right)=E\left[z_{t},z_{t-k}\right]\right\} _{k=0,1,2,\ldots}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
que son los coeficientes del polinomio de retardo infinito simétrico
\begin_inset Formula \begin{equation}
\gamma\left(B+F\right)=\frac{\theta\left(B\right)\theta\left(F\right)}{\phi\left(B\right)\phi\left(F\right)}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vista la matriz de covarianzas de una forma más gráfica quedaría así:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
\gamma_{0} & \gamma_{1} & \gamma_{2} & \cdots & \gamma_{m-1}\\
\gamma_{1} & \gamma_{0} & \gamma_{1} & \ddots & \vdots\\
\gamma_{2} & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \ddots & \gamma_{2}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \gamma_{1}\\
\gamma_{m-1} & \cdots & \gamma_{2} & \gamma_{1} & \gamma_{0}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si se dispone de una descomposición simétrica como la de Cholesky 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,\theta,m\right)\end{equation}

\end_inset

ésta se podrá emplear para filtrar las matrices de input y output de la
 regresión lineal, resolviendo sistemas lineales en 
\begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{'}=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\triangle\cdot Y\\
X^{'}=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\triangle\cdot X\\
e=L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)Z\end{array}\end{equation}

\end_inset

resultando la regresión lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{'}=X^{'}\cdot\beta+e\\
e\sim N\left(0,\sigma^{2}I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset

que permite realizar la simulación de los parámetros lineales y la varianza
 condicionados a los parámetros ARMA.
\end_layout

\begin_layout Standard
Efectuar la descomposición de Cholesky genérica tendría complejidad cúbica
 en el orden de la matriz 
\begin_inset Formula $O\left(m^{3}\right)$
\end_inset

 y aunque existen diferentes métodos de calcular la descomposición de Cholesky
 con complejidades superlineales 
\begin_inset Formula $O\left(m\cdot\lg^{2}m\right)$
\end_inset

, luego la matriz 
\begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 no tiene ninguna estructura especial y la resolución de los sistemas referidos
 tiene complejidad cuadrática 
\begin_inset Formula $O\left(m^{2}\right)$
\end_inset

, lo cual supone tiempos de cálculo insoportables con apenas unos cientos
 de datos.
\end_layout

\begin_layout Standard
A continuación se presenta un método implícito de descomposición sintética
 mucho más rápido de obtener los mismos resultados.
\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Descomposición-sintética"

\end_inset

Descomposición sintética
\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Lema 1
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianzas de orden
 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 del proceso AR puro
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Sigma\left(\phi,1,m\right)=L\left(\phi,1,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation}

\end_inset

la inversa de dicha descomposición 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 para cualquier 
\begin_inset Formula $m>n=\max\left(p,q\right)+1+p$
\end_inset

 es de Toeplitz a partir de la fila 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 por lo que es conocida sin coste adicional alguno sin más que repetir en
 cada fila de 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset

 los valores de la fila 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 desplazados una columna hacia delante: 
\begin_inset Formula \begin{equation}
L^{-1}\left(\phi,1,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
\vartheta_{1,1} & \cdots & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\vartheta_{n,1} & \cdots & \vartheta_{n,n} &  & 0\\
\vdots & \ddots &  & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \vartheta_{n,1} & \cdots & \vartheta_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Eso la convierte además en una matriz de Toeplitz de bandas con ceros fuera
 de las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 primeras bandas que es muy sparse cuando crece 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 pues el número de datos no ceros es menor que 
\begin_inset Formula $n\cdot m$
\end_inset

.
 Nótese que la matriz de descomposición 
\begin_inset Formula $L\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 propiamente dicha no es sparse en general, aunque para raíces muy lejanas
 del círculo unidad los términos más alejados de la unidad se acercan rápidament
e a cero.
\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Lema 2
\end_layout

\begin_layout Standard
La matriz de covarianzas de orden 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

 del proceso ARMA filtrada simétricamente de la descomposición de las covarianza
s del proceso AR puro, es decir,
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation}

\end_inset

también es simétrica y de Toeplitz partir de la fila y columna 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 por lo que es conocida sin coste adicional alguno, una vez calculada 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

, sin más que repetir en cada fila (y columna) los valores de la fila (y
 columna) 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 desplazados una columna (fila) hacia delante (abajo).
 Se trata por ende de una matriz de Toeplitz de bandas con ceros fuera de
 las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 primeras bandas que es muy sparse cuando crece 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 pues el número de datos no ceros es menor que 
\begin_inset Formula $\left(2\cdot n-1\right)\cdot m$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
\upsilon_{1,1} & \cdots & \upsilon_{n,1} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\upsilon_{n,1} & \cdots & \upsilon_{n,n} &  & \upsilon_{n,1}\\
\vdots & \ddots &  & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \upsilon_{n,1} & \cdots & \upsilon_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por construcción del método de Cholesky 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 se tiene que el factor 
\begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 es igualmente de bandas con ceros fuera de las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 primeras bandas, siendo el número de datos no ceros menor que 
\begin_inset Formula $n\cdot m$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1,1} & \cdots & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} &  & 0\\
\vdots & \ddots &  & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times m}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Corolario 1
\end_layout

\begin_layout Standard
Mezclando las dos fórmulas anteriores 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,m\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
L\left(\phi,1,m\right)\cdot\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,m\right)=\Sigma\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,\theta,M\right)\cdot L^{T}\left(\phi,\theta,M\right)\end{equation}

\end_inset

se obtiene de forma inmediata una expresión de la descomposición de Cholesky
 de la matriz de covarianzas para cualquier entero 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
L\left(\phi,\theta,m\right)=L\left(\phi,1,m\right)\cdot\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\end{equation}

\end_inset

que, aunque no es en general sparse.
\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Corolario 2
\end_layout

\begin_layout Standard
Sin embargo sí que permite un mecanismo de filtrado sparse en dos fases.
 En el caso del filtrado ARMA comentado anteriormente se tiene que calcular
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 dado 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 de forma que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
U=L\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para ello se calcula primero 
\begin_inset Formula \begin{equation}
W=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot U=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation}

\end_inset

teniendo en cuenta que 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 es sparse, para luego despejar 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 en el sistema sparse
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
W=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Corolario 3
\end_layout

\begin_layout Standard
En un proceso AR puro es 
\begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)=I_{m}$
\end_inset

y 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,\theta,m\right)=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Corolario 4
\end_layout

\begin_layout Standard
En un proceso MA puro es 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)=I_{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Algoritmo-de-la-descomposición-ARMA-sintética"

\end_inset

Algoritmo de la descomposición ARMA sintética
\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Entrada
\end_layout

\begin_layout Standard
Los polinomios
\begin_inset Formula $\phi,\theta$
\end_inset

 y el tamaño de la serie 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Salida
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos matrices sparse 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Método
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula 
\begin_inset Formula $n=\max\left(p,q\right)+1+p$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula 
\begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula la descomposición de Cholesky de orden 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,1,n\right)=L\left(\phi,1,n\right)\cdot L^{T}\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset

 que será en general más densa cuanto más cerca de la unidad estén las raíces
 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

, siendo la complejidad máxima de este paso 
\begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula la inversa de dicha descomposición 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset

 con coste 
\begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$
\end_inset

 a lo peor.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

 entonces se expande la última fila de 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset

 otras 
\begin_inset Formula $m-n$
\end_inset

 veces para formar la matriz sparse 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

.
 De lo contrario se extrae como el menor principal de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

.
 El número de celdas no nulas a almacenar es como máximo 
\begin_inset Formula $n\cdot m$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula 
\begin_inset Formula $\Sigma\left(\phi,\theta,n\right)$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,n\right)=L^{-1}\left(\phi,1,n\right)\cdot\Sigma\left(\phi,\theta,n\right)\cdot L^{-T}\left(\phi,1,n\right)$
\end_inset

 lo cual conlleva un coste menor o igual que 
\begin_inset Formula $O\left(n^{3}\right)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

 entonces se expanden las últimas fila y columna de 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,n\right)$
\end_inset

 otras 
\begin_inset Formula $m-n$
\end_inset

 veces para formar la matriz sparse simétrica 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

.
 De lo contrario se extrae como el menor principal de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula la descomposición de Cholesky de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 de la matriz sparse 
\begin_inset Formula $\Upsilon\left(\phi,\theta,m\right)=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot\Lambda^{T}\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 con complejidad 
\begin_inset Formula $O\left(n^{2}m\right)$
\end_inset

y tamaño a almacenar de 
\begin_inset Formula $n\cdot m$
\end_inset

 celdas como máximo
\end_layout

\begin_layout Subsection
\begin_inset LatexCommand label
name "sub:Algoritmo-de-filtrado ARMA sintético"

\end_inset

Algoritmo de filtrado ARMA sintético
\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Entrada
\end_layout

\begin_layout Standard
Las matrices sparse 
\begin_inset Formula $L^{-1}\left(\phi,1,m\right)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)$
\end_inset

 generadas por el algoritmo anterior
\end_layout

\begin_layout Standard
La matriz o vector 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 a filtrar, que puede ser densa o sparse.
\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Salida
\end_layout

\begin_layout Standard
La matriz filtrada 
\begin_inset Formula $V=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot Z$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subparagraph*
Método
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se calcula el producto de matriz sparse por matriz o vector 
\begin_inset Formula $W=L^{-1}\left(\phi,1,m\right)\cdot Z$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Se resuelve el sistema triangular sparse 
\begin_inset Formula $W=\Lambda\left(\phi,\theta,m\right)\cdot V$
\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document