source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P1_S8_Mantenimiento_y_produccion.lyx

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\begin_layout Chapter
Mantenimiento y producción
\end_layout

\begin_layout Standard
Una vez que acaba la etapa de análisis y diseño de un modelo se pasa a la
 etapa de producción en la que el modelo se usará para hacer inferencia
 de una u otra forma: predicción, decisión, etc.
 Durante esta etapa el modelo debe mantenerse en estado de revista, es decir,
 debe ir adaptándose a los nuevos datos que vayan conociéndose e incorporando
 eventuales nuevas variables.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Reestimación"

\end_inset

Reestimación
\end_layout

\begin_layout Standard
Durante la etapa de mantenimiento de un modelo se dispone siempre de una
 cadena de Markov correspondiente a la última sesión de simulación de las
 variables del modelo.
 Periódicamente, se añadirá un intervalo de nuevos datos observados de input
 y output, sin que desaparezcan variables ni se modifique la formulación
 del modelo, salvo quizás por la incorporación de alguna variable nueva
 que trate de explicar algún acontecimiento del que no había precedentes
 en la muestra.
 Entonces es lícito suponer que las variables que no tienen datos en ese
 nuevo intervalo ni correlacionan con otras que sí los tengan, no deberían
 cambiar nada con respecto a las ya simuladas.
 Es decir, esta modificación supone dividir las variables del modelo en
 dos categorías: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
las variables consideradas como 
\emph on
vigentes 
\emph default
que no dependen de los nuevos datos incorporados, y
\end_layout

\begin_layout Itemize
las variables susceptibles de haber quedado 
\emph on
obsoletas
\emph default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si es sostenible la hipótesis de que la distribución de las variables vigentes
 condicionadas por las obsoletas no se puede ver afectada por la incorporación
 de los nuevos datos y variables, entonces no es preciso simular de nuevo
 dichas variables, sino que basta con leerlas directamente de la cadena
 de Markov previamente almacenada.
 En tal caso sólo será preciso volver a simular las variables obsoletas
 condicionadas a las vigentes recién leídas.
 No se podría por tanto ampliar la longitud de la nueva cadena de Markov.
\end_layout

\begin_layout Section
Simulación parcial
\end_layout

\begin_layout Standard
Tanto si se ha fijado un valor constante para un parámetro como si se leen
 sus valores de una cadena previamente almacenada, los pasos a seguir a
 partir de ahí son básicamente los mismos dependiendo del bloque concreto
 al que pertenece el parámetro.
 A esta técnica le llamaremos simulación parcial y acontinuación se detallan
 algunas notas sobre su implementación en cada caso.
\end_layout

\begin_layout Subsection
El bloque lineal
\end_layout

\begin_layout Standard
Si llamamos 
\begin_inset Formula $\beta^{0}$
\end_inset

 a los parámetros que no es necesario simular pues ya se dispone de un valor,
 fijo o leído de una MCMC previa, y 
\begin_inset Formula $\beta^{1}$
\end_inset

 a los que hay que simular, entonces tendremos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y=X^{0}\cdot\beta^{0}+X^{1}\cdot\beta^{1}+\varepsilon\\
C^{0}\cdot\beta^{0}+C^{1}\cdot\beta^{1}\leq c\\
\varepsilon\sim N\left(0,I\right)\\
Y,\varepsilon\in\mathbb{R}^{m}\\
\beta^{0}\in\mathbb{R}^{n_{0}}\wedge X^{0}\in\mathbb{R}^{m\times n_{0}}\\
\beta^{1}\in\mathbb{R}^{n_{1}}\wedge X^{1}\in\mathbb{R}^{m\times n_{1}}\\
c\in\mathbb{R}^{\rho}\wedge C^{0}\in\mathbb{R}^{\rho\times n_{0}}\wedge C^{1}\in\mathbb{R}^{\rho\times n_{1}}\\
m>n=n_{0}+n_{1}\\
rank\left(X\right)=n\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Puesto que 
\begin_inset Formula $\beta^{0}$
\end_inset

 es conocido definiendo 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{1}=Y-X^{0}\cdot\beta^{0}\\
c^{1}=c-C^{0}\cdot\beta^{0}\end{array}\end{equation}

\end_inset

se tendrá la regresión con restricciones
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\begin{array}{c}
Y^{1}=X^{1}\cdot\beta^{1}+\varepsilon\\
C^{1}\cdot\beta^{1}\leq c^{1}\\
\varepsilon\sim N\left(0,I\right)\end{array}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que en la nuevas matrices de restricciones 
\begin_inset Formula $C^{1}$
\end_inset

y 
\begin_inset Formula $c^{1}$
\end_inset

 habría que eliminar todas las filas que no tengan coeficientes no nulos
 para los 
\begin_inset Formula $\beta^{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En el caso particular en que todos los parámetros del bloque lineal estuvieran
 fijados, es decir, 
\begin_inset Formula $n=n_{0}$
\end_inset

, o lo que es lo mismo, 
\begin_inset Formula $n_{1}=0$
\end_inset

, no habría nada que simular en este bloque lineal, por lo que bastaría
 con filtrar el output que sería por sí mismo el vector de ruido estandarizado
 del modelo: 
\begin_inset Formula $Y^{1}=Y-X^{0}\cdot\beta^{0}=\varepsilon$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
El bloque de omitidos
\end_layout

\begin_layout Standard
Los omitidos se simulan en realidad como un bloque lineal, por lo que la
 solución es idéntica al caso anterior
\end_layout

\begin_layout Subsection
El bloque de varianzas
\end_layout

\begin_layout Standard
Como se simulan de una en una de forma independiente no ofrece ninguna dificulta
d, simplemente se simulan las que hay que simular y las otras no.
\end_layout

\begin_layout Subsection
El bloque ARMA
\end_layout

\begin_layout Standard
Internamente se simulan usando un ARMS, aunque en un futuro es posible que
 se usen otros métodos más eficientes, especialmente para la parte AR, por
 lo que sería recomendable no permitir la fijación de cada parámetro AR
 ó MA en particular, sino de toda la parte ARMA de un segmento concreto.
 Eso sí, unos segmentos podrían tener la parte ARMA fija y otros no.
\end_layout

\begin_layout Standard
En cualquier caso la parte de filtrado ARIMA del resto de bloques habría
 que seguir manteniéndola en cualquier caso.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Los bloques de filtros no lineales
\end_layout

\begin_layout Standard
Cabe decir lo mismo que en el apartado del bloque ARMA.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Remodelación"

\end_inset

Remodelación
\end_layout

\begin_layout Standard
Cada cierto tiempo se acumulan demasiados cambios eventuales que deben reformula
rse de una forma más genérica, o bien ocurre que los nuevos datos contradicen
 las hipótesis que antes funcionaban correctamente, bien por error en el
 diseño del modelo, o bien porque el propio fenómeno está cambiando y evoluciona
ndo, lo cual es muy habitual por ejemplo en los nuevos mercados, pero que
 es inherente a casi cualquier proceso complejo.
\end_layout

\begin_layout Standard
En estos casos ya no es posible reestimar el modelo viejo con las nuevas
 incorporaciones sino que hay que reestimar todas conjuntamente, aunque
 sí es posible a veces introducir como información a priori una aproximación
 relajada de la distribución a posteriori de la vieja simulación.
 En un modelo jerárquico esto es equivalente a sustituir la jerarquía de
 nodos latentes por un solo nivel a priori que permite la simulación en
 paralelo de cada nodo observacional como un modelo independiente de los
 demás, lo cual proporciona un mecanismo de escalabilidad sumamente eficiente.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Previsión-bayesiana"

\end_inset

Previsión bayesiana
\end_layout

\begin_layout Standard
Lo primero que hay que dejar claro es que en el sentido bayesiano, dar una
 previsión de una variable aleatoria no consiste en dar un número específico;
 ni la media, ni la moda ni ningún otro estadístico concreto, si no una
 formulación de la distribución de probabilidad de dicha variable.
 En algunas clases de modelos esa distribución se puede concretar en base
 a ciertos parámetros, por ejemplo si es una normal basta con la media y
 la varianza, pero el método no paramétrico más empleado es dar una muestra
 suficientemente larga de simulaciones, lo cual en nuestro caso se concreta
 en una cadena de Markov-Montecarlo (MCMC).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Si en un modelo en el que algunos segmentos de regresión corresponden a
 series temporales, incluimos en el intervalo muestral las fechas para las
 que se quiere estimar la previsión introduciendo omitidos para los outputs,
 pues lógicamente son desconocidos, por eso se quieren prever, entonces
 la cadena de Markov correspondiente a esos omitidos tras la simulación
 del modelo nos da un conjunto de realizaciones de la distribución conjunta
 a posteriori de las previsiones correspondientes.
 Esto es tanto como decir que la previsión es sólo un caso particular de
 simulación de datos omitidos referidos al futuro.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si se conjuga este concepto con el anterior de reestimación (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Reestimación"

\end_inset

) entonces se puede ver que una forma rápida de construir las previsiones
 de un modelo ya estimado cuando aparecen nuevos datos input y/o output
 es considerar como vigentes todas las variables salvo los omitidos del
 output correspondientes al periodo de previsión.
 El proceso de reestimación así definido tendría como resultado una cadena
 de Markov que contendría la distribución conjunta de las previsiones en
 el periodo especificado.
 En esta redefinición del modelo original sólo sería necesario introducir
 los últimos datos de cada segmento observacional necesarios para la evaluación
 ARIMA.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por supuesto que se puede considerar obsoleta alguna variable más, lo cual
 queda al albur del analista que debe decidirlo en función de la magnitud
 de los cambios que se aprecien en los datos recién llegados, y de este
 modo se obtiene la reestimación y la previsión en un sólo paso de simulación
 parcial.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Inferencia-y-decisión"

\end_inset

Inferencia y decisión bayesianas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una vez obtenida la MCMC 
\begin_inset Formula $\left\{ \Upsilon_{s}\right\} _{s=1\ldots S}$
\end_inset

 de la distribución a posteriori de la previsión 
\begin_inset Formula $\Upsilon$
\end_inset

, hacer inferencia bayesiana es algo básicamente trivial, lo cual no sucede
 por casualidad, sino porque ese es precisamente el objetivo de generar
 muestras de cualquier tipo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Para obtener un estadístico de tipo esperanza basta con calcular su promedio
 a lo largo de las muestras:
\begin_inset Formula \begin{equation}
E\left[f\left(\Upsilon\right)\right]=\int_{\Omega}f\left(\Upsilon\right)\mathrm{d}\Upsilon=\frac{1}{S}\underset{s=1}{\overset{S}{\sum}}f\left(\Upsilon_{s}\right)\pm O\left(\frac{1}{\sqrt{S}}\right)\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Para la media, por ejemplo, sería como es obvio
\begin_inset Formula \begin{equation}
\overline{\Upsilon}=\frac{1}{S}\underset{s=1}{\overset{S}{\sum}}\Upsilon_{s}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Una decisión bayesiana basada en una función de coste es también un caso
 particular de estadístico esperanza.
 Una función de coste muy habitual en los sistemas de atención dinámica
 de la demanda, y que nos servirá perfectamente de ilustración del método,
 es la función de coste asimétrico de servicio
\begin_inset Formula \begin{equation}
C\left(\widetilde{\Upsilon},\Upsilon\right)=\begin{cases}
a\left(\Upsilon-\widetilde{\Upsilon}\right) & \forall\Upsilon>\widetilde{\Upsilon}\\
b+c\left(\widetilde{\Upsilon}-\Upsilon\right) & \forall\Upsilon\leq\widetilde{\Upsilon}\end{cases}\end{equation}

\end_inset

que devuelve el coste de tomar la decisión 
\begin_inset Formula $\widetilde{\Upsilon}$
\end_inset

 y que el valor real sea finalmente 
\begin_inset Formula $\Upsilon$
\end_inset

 teniendo en cuenta que si sobran unidades, cada una de ellas con lleva
 un coste 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 , el llamado coste unitario de devolución, mientras que si faltan unidades
 puede haber un coste de oportunidad 
\begin_inset Formula $b\geq0$
\end_inset

 independiente de cuantas se hayan dejado de servir, además del coste 
\begin_inset Formula $c>0$
\end_inset

 de no haber vendido cada unidad que faltó.
 La decisión óptima desde el punto de vista bayesiano sería la que minimiza
 la esperanza del coste total
\begin_inset Formula \begin{equation}
E\left[C\left(\widetilde{\Upsilon},\Upsilon\right)\right]\simeq\overline{C\left(\widetilde{\Upsilon},\Upsilon\right)}=\frac{1}{S}\underset{s=1}{\overset{S}{\sum}}C\left(\widetilde{\Upsilon},\Upsilon_{s}\right)\end{equation}

\end_inset

Para encontrarla, siempre que se trate de una distribución unimodal, se
 puede utilizar el método de la bisectriz o el de Fibonacci evaluando 
\begin_inset Formula $\overline{C\left(\widetilde{\Upsilon},\Upsilon\right)}$
\end_inset

 dentro del intervalo 
\begin_inset Formula $\widetilde{\Upsilon}\in\left[\underset{s=1\ldots S}{\min}\Upsilon_{s},\underset{s=1\ldots S}{\max}\Upsilon_{s}\right]$
\end_inset

.
 Si no es unimodal existen métodos más complicados aunque es una situación
 realmente extraña por lo que no merece la pena extenderse en ello.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Para obtener un estadístico de tipo cuantil simplemente se calcula dicho
 cuantil sobre la muestra.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Para la mediana, por ejemplo, se ordena la cadena de menor a menor
\begin_inset Formula \begin{equation}
\Upsilon_{s_{1}}\leq\Upsilon_{s_{2}}\leq\ldots\leq\Upsilon_{s_{S}}\end{equation}

\end_inset

y se toma el valor 
\begin_inset Formula \begin{equation}
Q_{1/2}=\begin{cases}
\Upsilon_{s_{S/2}} & \forall s\,\mathrm{mod}\,2=1\\
\frac{\Upsilon_{s_{\left(S-1\right)/2}}+\Upsilon_{s_{\left(S+1\right)/2}}}{2} & \forall s\,\mathrm{mod}\,2=0\end{cases}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Para dar un intervalo simétrico de confianza 
\begin_inset Formula $1-\alpha$
\end_inset

 se calculan los cuantiles muestrales 
\begin_inset Formula $Q_{\alpha/2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q_{1-\alpha/2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Para estimar la moda o valor más probable, siempre que se trate de una distribuc
ión unimodal, claro está, se debe utilizar algún método de estimación de
 la función de densidad, como el kernel-density 
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation
\end_layout

\end_inset

, y luego aplicar un método de optimización adecuado para encontrar su máximo.
\end_layout

\end_body
\end_document