Changeset 58c13bd in tol
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r9da8b6f r58c13bd 312 312 313 313 \begin_layout Subsection 314 La función de ponderación314 Ponderación 315 315 \end_layout 316 316 … … 321 321 \begin_inset Formula \begin{equation} 322 322 \begin{array}{c} 323 \widehat{f}\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)\cdot g_{h}\left(x\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} 323 \widehat{f}\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)g_{h}\left(x\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} 324 325 \end_inset 326 327 328 \end_layout 329 330 \begin_layout Standard 331 \begin_inset Formula \begin{equation} 332 \begin{array}{c} 333 \widehat{f}\left(x\right)=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\alpha_{h,k}p_{k}\left(x-y_{h}\right)w_{h}\left(x\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} 324 334 325 335 \end_inset … … 342 352 \end_inset 343 353 344 , alcanzar el máximo valor en el punto de referencia , y dar siempre suma345 354 , alcanzar el máximo valor en el punto de referencia para favorecer los 355 puntos más cercanos al de referencia, y dar siempre suma 346 356 \begin_inset Formula $1$ 347 357 \end_inset … … 355 365 w_{h}\left(x\right)\leq w_{h}\left(y_{h}\right)\forall x\in\mathbb{R}^{n}\\ 356 366 \overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}w_{h}\left(x\right)=1\forall x\in\mathbb{R}^{n}\end{array}\end{equation} 367 368 \end_inset 369 370 371 \end_layout 372 373 \begin_layout Standard 374 Es importante observar que si las funciones de la base y las de ponderación 375 tienen todas una formulación analÃtica cuyas derivadas parciales son todas 376 perfectamente conocidas, entonces es trivial aproximar las derivadas parciales 377 de la función objetivo sin ningún esfuerzo adicional de estimación. 378 \begin_inset Formula \begin{equation} 379 \begin{array}{c} 380 \frac{\partial\widehat{f}\left(x\right)}{\partial x^{i}}=\overset{}{\underset{x\in\Omega_{h}}{\sum}}\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\alpha_{h,k}\left(\frac{\partial p_{k}\left(x-y_{h}\right)}{\partial x^{i}}w_{h}\left(x\right)+p_{k}\left(x-y_{h}\right)\frac{\partial w_{h}\left(x\right)}{\partial x^{i}}\right)\end{array}\end{equation} 357 381 358 382 \end_inset … … 494 518 495 519 \begin_layout Subsection 496 Modelo jerárquico520 Modelo con información a priori 497 521 \end_layout 498 522 … … 502 526 locales parecerse en cierta medida a sus vecinas en las zonas compartidas 503 527 de sus entornos locales. 504 Una hipótesis que parece bastante razonable es que en los puntos nodales505 comunes a varios entornos locales las diferencias entre las correspondientes506 aproximaciones locales siga una distribución normal similar a la de los 507 errores de aproximación global, es decir528 Una hipótesis que parece bastante razonable a priori es que en los puntos 529 nodales comunes a varios entornos locales las diferencias entre las correspondi 530 entes aproximaciones locales siga una distribución normal similar a la de 531 los errores de aproximación global, es decir 508 532 \begin_inset Formula \[ 509 533 g_{h}\left(x\right)-g_{s}\left(x\right)=e_{h,s}\left(x\right)\sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\forall x\in\Omega_{h}\cap\Omega_{s}\] … … 533 557 \end_inset 534 558 535 entonces podemos añadir a la matriz559 Podemos añadir a la matriz 536 560 \begin_inset Formula $Q$ 537 561 \end_inset … … 541 565 \end_inset 542 566 543 ecuaciones latentesal modelo definido anteriormente567 ecuaciones a priori al modelo definido anteriormente 544 568 \end_layout 545 569 … … 552 576 553 577 578 \end_layout 579 580 \begin_layout Standard 581 Por razones análogas se podrÃa desear que las aproximaciones locales vecinas 582 no sólo tuvieran valores similares si no también derivadas parciales igualmente 583 parecidas. 584 Para ello habrÃa que añadir a la matriz 585 \begin_inset Formula $Q$ 586 \end_inset 587 588 las 589 \begin_inset Formula $K\cdot T$ 590 \end_inset 591 592 ecuaciones a priori 593 \end_layout 594 595 \begin_layout Standard 596 \begin_inset Formula \begin{equation} 597 \begin{array}{c} 598 0=\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\frac{\partial p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{h}\right)}{\partial x^{i}}\alpha_{h,k}\cdot-\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\frac{\partial p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{s}\right)}{\partial x^{i}}\alpha_{s,k}\cdot+e_{h,s,j,i}\end{array}\end{equation} 599 600 \end_inset 601 602 603 \end_layout 604 605 \begin_layout Standard 606 Los residuos de estas igualdades son asintóticamente restas de residuos 607 con distribuciones 608 \begin_inset Formula $N\left(0,\sigma^{2}\right)$ 609 \end_inset 610 611 independientes, luego sus distribuciones serán 612 \begin_inset Formula $N\left(0,2\sigma^{2}\right)$ 613 \end_inset 614 615 independientes. 616 \end_layout 617 618 \begin_layout Standard 619 Se podrÃa incuso forzar el mismo tipo de restricciones para las segundas 620 derivadas parciales añadiendo las 621 \begin_inset Formula $K^{2}\cdot T$ 622 \end_inset 623 624 ecuaciones a priori 625 \begin_inset Formula \begin{equation} 626 \begin{array}{c} 627 0=\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\frac{\partial^{2}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{h}\right)}{\partial x^{i_{1}}\partial x^{i_{2}}}\alpha_{h,k}\cdot-\overset{K}{\underset{k=1}{\sum}}\frac{\partial^{2}p_{k}\left(z_{h,s,t}-y_{s}\right)}{\partial x^{i_{1}}\partial x^{i_{2}}}\alpha_{s,k}\cdot+e_{h,s,j,i_{1},i_{2}}\end{array}\end{equation} 628 629 \end_inset 630 631 con residuos distribuidos como 632 \begin_inset Formula $N\left(0,4\sigma^{2}\right)$ 633 \end_inset 634 635 independientes. 636 \end_layout 637 638 \begin_layout Standard 639 Evidentemente este tipo de restricciones a priori sólo tienen sentido si 640 la base de aproximación local tiene componentes con el órden suficiente 641 de derivadas parciales no nulas. 554 642 \end_layout 555 643 … … 1254 1342 \begin_inset Formula \begin{equation} 1255 1343 \gamma\left(\tau\right)=\begin{cases} 1256 \ left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau\right)^{4} & \forall\tau\leq1\\1344 \frac{1}{64}\left(1-\tau^{2}\right)^{4} & \forall\tau\leq1\\ 1257 1345 0 & \forall\tau>1\end{cases}\end{equation} 1258 1346 … … 1424 1512 \begin_inset Formula \begin{equation} 1425 1513 \lambda_{h}\left(x\right)=\gamma\left(\tau_{h}\left(x\right)\right)=\begin{cases} 1426 \ left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tau_{h}\left(x\right)\right)^{4} & \forall x\in\Omega_{h}\\1514 \frac{1}{64}\left(1-\tau_{h}^{2}\left(x\right)\right)^{4} & \forall x\in\Omega_{h}\\ 1427 1515 0 & \forall x\notin\Omega_{h}\end{cases}\end{equation} 1428 1516 … … 1460 1548 1461 1549 \begin_layout Standard 1462 Todo lo anterior seguirÃa siendo cierto partiendo de cualquier distribución 1463 beta simétrica de orden entero mayor o igual que 4 pero no con orden 3 1464 pues en ese caso la segunda derivada no serÃa continua en la frontera. 1550 A la función 1551 \begin_inset Formula $\gamma$ 1552 \end_inset 1553 1554 le llamaremos 1555 \emph on 1556 función generatriz de cercanÃa local 1557 \emph default 1558 . 1559 Todo lo anterior seguirÃa siendo cierto si para definir 1560 \begin_inset Formula $\gamma$ 1561 \end_inset 1562 1563 se partiera de cualquier distribución beta simétrica de orden entero mayor 1564 o igual que 4 pero no con orden 3 pues en ese caso la segunda derivada 1565 no serÃa continua en la frontera. 1465 1566 En la gráfica siguiente se muestra cómo la función de cercanÃa se hace 1466 1567 más concentrada en el punto de referencia cuanto más grande es el orden … … 1899 2000 funciones sin malla, aunque dado el sistema de estimación no aportarÃa 1900 2001 ninguna ganancia sino más bien al contrario: de una buena selección de 1901 la malla puede depender la calidad y laeficiencia de la aproximación. 1902 \end_layout 1903 1904 \begin_layout Standard 1905 Para que la regresión lineal no sea degenerada debe tener más ecuaciones 1906 que variables 1907 \begin_inset Formula \begin{equation} 1908 J+T\geq\begin{array}{c} 1909 H\cdot K\end{array}\end{equation} 1910 1911 \end_inset 1912 1913 1914 \end_layout 1915 1916 \begin_layout Standard 1917 De hecho, para que se pueda hacer inferencia la superficie de contraste 1918 ha de ser razonablemente grande 1919 \end_layout 1920 1921 \begin_layout Standard 1922 \begin_inset Formula \begin{equation} 1923 SC=\begin{array}{c} 1924 \frac{J+T}{H\cdot K}\gg1\end{array}\end{equation} 1925 1926 \end_inset 1927 1928 1929 \end_layout 1930 1931 \begin_layout Standard 1932 Para aumentar la superficie de contraste sin rebajar el tamaño de la base 1933 ni el número de puntos de referencia se deben añadir máspuntosde estrés. 1934 En las intersecciones entre pares de entornos locales en los que haya algún 1935 punto nodal lo más prudente serÃa que estos ejercieran a su vez de puntos 1936 de estrés. 1937 En aquellas en las que no los hubiera serÃa recomendable introducirlos 1938 de forma artificial. 2002 la malla puede depender la calidad y la eficiencia de la aproximación. 1939 2003 \end_layout 1940 2004 … … 1985 2049 1986 2050 \begin_layout Standard 2051 Obsérvese que en una malla regular, cada entorno local interior interseca 2052 con otros 4 en el espacio bidimiensional, con sólo 2 en el espacio unidimension 2053 al y con 6 en el tridimensional, es decir, con el mismo número que caras 2054 tiene el hipercubo correspondiente a la dimensión del espacio. 2055 2056 \end_layout 2057 2058 \begin_layout Standard 1987 2059 Cuando la densidad de puntos nodales no es homogénea lo más prudente es 1988 2060 adaptar el recubrimiento a las circunstancias. … … 2034 2106 2035 2107 2108 \end_layout 2109 2110 \begin_layout Standard 2111 Según se introduzca o no información a priori sobre los puntos de estrés 2112 el número 2113 \begin_inset Formula $M$ 2114 \end_inset 2115 2116 de ecuaciones del modelo podrÃa estar en el rango 2117 \begin_inset Formula \begin{equation} 2118 J\leq M\leq J+T\left(1+K+K^{2}\right)\end{equation} 2119 2120 \end_inset 2121 2122 2123 \end_layout 2124 2125 \begin_layout Standard 2126 Para que la regresión lineal no sea degenerada debe tener más ecuaciones 2127 que variables 2128 \begin_inset Formula \begin{equation} 2129 M\geq\begin{array}{c} 2130 H\cdot K\end{array}\end{equation} 2131 2132 \end_inset 2133 2134 2135 \end_layout 2136 2137 \begin_layout Standard 2138 De hecho, para que se pueda hacer inferencia la superficie de contraste 2139 ha de ser razonablemente grande 2140 \end_layout 2141 2142 \begin_layout Standard 2143 \begin_inset Formula \begin{equation} 2144 SC=\begin{array}{c} 2145 \frac{M}{H\cdot K}\gg1\end{array}\end{equation} 2146 2147 \end_inset 2148 2149 2150 \end_layout 2151 2152 \begin_layout Standard 2153 Para aumentar la superficie de contraste sin rebajar el tamaño de la base 2154 ni el número de puntos de referencia se deben añadir más puntos de estrés 2155 o mayor orden de diferenciación en la información a priori. 2156 En las intersecciones entre pares de entornos locales en los que haya algún 2157 punto nodal lo más prudente serÃa que estos ejercieran a su vez de puntos 2158 de estrés. 2159 En aquellas en las que no los hubiera serÃa recomendable introducirlos 2160 de forma artificial. 2036 2161 \end_layout 2037 2162
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