Changes between Version 12 and Version 13 of OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerRandWalkInPolytope

Timestamp:

Feb 1, 2011, 5:06:42 PM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerRandWalkInPolytope

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 [[LatexEquation( A x \ge a \wedge x\in\mathbb{R}^{n} \wedge  a\in\mathbb{R}^{r} \wedge A\in\mathbb{R}^{r\times n} )]]
 
-caben dos posibilidades, utilizar un generador de candidatos que cumpla las restricciones por 
-construcción o usar uno libre y luego rechazar los candidatos no factibles. La ventaja de este 
-último es que puede ser simétrico y evita el cálculo de la verosimilitud del candidato pero el 
-problema es que puede ser que tarde mucho en encontrar uno factible si el punto actual está 
-demasiado cerca de la frontera, lo cual será muy habitual si el punto de máxima verosimilitud 
-se encuentra fuera del politopo definido por las anteriores inecuaciones.
+caben dos posibilidades:
+ 1. utilizar un generador de candidatos que cumpla las restricciones por construcción 
+ 1. usar uno libre y luego rechazar los candidatos no factibles. 
+ 
+La ventaja de la segunda es que puede ser simétrico y evita el cálculo de la verosimilitud del 
+candidato, pero el problema es que puede ser que tarde mucho en encontrar uno factible si el punto 
+actual está demasiado cerca de la frontera, lo cual será muy habitual si el punto de máxima 
+verosimilitud se encuentra fuera del politopo definido por las anteriores inecuaciones.
 
 En la siguiente figura se observa un caso en el que el punto máximo verosímil sin restricciones 
 (en verde) se encuentra fuera del politopo (en gris), por lo que el punto máximo-verosimil 
-restringido (en rojo) se encuentra en la frontera del politopo. La cadena tenderá a estar cerca 
+restringido (en rojo) se encuentra en la frontera del politopo. Las elipses verdes son líneas 
+isoprobables, es decir con la misma densidad por lo que ese punto se encuentra en la intesección 
+con el politopo de la mayor elipse externa al mismo. La cadena tenderá a estar cerca 
 de ese punto y por tanto cerca de la frontera. Es evidente que cualquier entorno de generación 
 simétrica de candidatos (en  rosa), tendrá como máximo la mitad de área en la zona factible, lo 
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 Es claro que no es preciso que el punto se encuentre en la frontera para que sus entornos tengan 
-incluso menos de la mitad, como ocurre con el entorno amarillo de la figura anterior. La pregunta 
-es  ¿qué pasaría si no estuviera en la frontera por inclumplir sólo una de las restricciones sino 
-que incumpliera varias al mismo tiempo? Pues que la probabilidad de generar un punto factible 
-decrecería exponencialmente, dependiendo también de los ángulos formados por los hiperplanos que 
-definen cada restricción. Y eso ya no es asumible a nada que se tengan 3 ó mas restricciones 
-incumplidas. En dos dimensiones sólo se pueden cruzar dos restricciones activas al mismo tiempo 
-pero es fácil de extrapolar lo que ocurriría en espacios de dimensiones más altas:
+incluso menos de la mitad de sus puntos dentro del politopo, como ocurre con el entorno amarillo 
+de la figura anterior. La pregunta es  ¿qué pasaría si no estuviera en la frontera por inclumplir 
+sólo una de las restricciones sino que incumpliera varias al mismo tiempo? Pues que la probabilidad 
+de generar un punto factible decrecería exponencialmente, dependiendo también de los ángulos formados 
+por los hiperplanos que definen cada restricción. Y eso ya no es asumible a nada que se tengan 3 ó mas 
+restricciones incumplidas. En dos dimensiones sólo se pueden cruzar dos restricciones activas al mismo 
+tiempo pero es fácil de extrapolar lo que ocurriría en espacios de dimensiones más altas:
 
 [[Image(source:/tolp/OfficialTolArchiveNetwork/BysSampler/doc/image/RandWalk.InPolytope.chart.726488582.png)]]
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 [[LatexEquation( y = x + h u )]]
 
-[[LatexEquation(h \sim U\left[h^{-},h^{+}\right] \wedge h^{-} \le 0 \ge h^{+}  )]]
+[[LatexEquation(h \sim U\left[h^{-},h^{+}\right] \wedge h^{-} \le 0 \le h^{+}  )]]
 
 Los pasos para conseguirlo serían los siguientes