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Timestamp:

Feb 1, 2011, 7:17:40 PM (15 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerRandWalkInPolytope

@@ -60 +60 @@
 En la práctica se observa que cuando hay muchas restricciones la cadena tiende a colapsar en un 
 punto de la frontera, lo cual impide que haya una convergencia real en un intervalo de tiempo 
-razonable.
+razonable. Si se utiliza un generador de tipo Gibbs le pasa exactamente lo mismo, pero la consecuencia 
+es que el método directamente fracasa y no es capaz de simular el siguiente punto.
 
 == Diseños de generadores de candidatos factibles ==
@@ -90 +91 @@
 
 Al igual que se hace con los generadores simétricos habituales es necesario fijar un tamaño de paso 
-máximo [[LatexEquation(s)]] para que se generen puntos no demasiado lejanos del acutual, de forma 
+máximo [[LatexEquation(s)]] para que se generen puntos no demasiado lejanos del actual, de forma 
 que el ratio de aceptación sea razonable.
 De esta forma se podría definir el radio de la hiperesfera como
@@ -102 +103 @@
 [[Image(source:/tolp/OfficialTolArchiveNetwork/BysSampler/doc/image/RandWalk.InPolytope.chart.726488582_b.png)]]
 
+Obsérvese como este método tendrá siempre dificultades al acercarse demasiado a la frontera, y especialmente 
+si se acerca a un vértice demasiado agudo.
 
 ==== Función de densidad ====
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 [[LatexEquation( \ln Q\left(x,y\right) = n \ln \rho\left(x; s, \lambda\right))]]
 
-el cual depende de la posición del punto de partida respecto a las fronteras del politopo y no es por 
-tanto un generador simétrico necesariamente, auqnue sí puede serlo eventualmente si el la distancia 
-del punto a la frontera es menor que el tamaño de paso actual.
+La densidad depende por tanto del radio, el cual depende de la posición del punto de partida respecto
+a las fronteras del politopo y no es por tanto un generador simétrico necesariamente, auqnue sí puede 
+serlo eventualmente si la distancia del punto a la frontera es menor que el tamaño de paso actual.
+
+En realidad podría usarse cualquier otra densidad truncada en la hiperesfera, como por ejemplo una 
+multinormal estandarizada, pero eso puede complicar demasiado el cálculo de la función de densidad,
+la cual habrá que calcular dos veces por cada candidato o precandidato generado.
 
 ==== Función generatriz ====
@@ -128 +135 @@
      proporcional a la hipersuperficie de dimensión n-1 de la hiperesfera correspondiente[[BR]] [[BR]]
      [[LatexEquation( \begin{array}{c} F\left(h\right)=\intop_{0}^{h}c\cdot t^{n-1}\mathbf{d}t=\left.\frac{c}{n}t^{n}\right]_{0}^{h}=\frac{c}{n}h^{n}\\ F\left(\rho\right)=\frac{c}{n}\rho^{n}=1\Rightarrow c=n\rho^{-n}\\ F\left(h\right)=\left(\frac{h}{\rho}\right)^{n}\end{array} )]] [[BR]] [[BR]]
+     Para ello se genera una uniforme unitaria y se calcula la inversa de la función de distribución en ella [[BR]] [[BR]]
+     [[LatexEquation( \gamma \sim \left[0,1\rigt] )]]  [[BR]] [[BR]]
+     [[LatexEquation( h = F^{-1}\left(\gamma\right) = \rho \gamma^{\frac{1}{n}})]] [[BR]] [[BR]]
  1. Si el punto está en la frontera o a una distancia menor de [[LatexEquation( \rho_0 )]] entonces se 
     retomará el último punto interior que cumplía dicha condición como origen de los 
     candidatos, y se ejecuta desde el principio el proceso, pero luego se compararán las probabilidades 
     de los candidatos con las del último punto generado, para asegurar así la convergencia, según el 
-    principio básico del [http://en.wikipedia.org/wiki/Detailed_balance balance-detallado].
+    principio básico del [http://en.wikipedia.org/wiki/Detailed_balance balance-detallado]. 
+
+Podríamos decir que se trata de un paseo aleatorio con retroceso, pues en ocasiones el origen de 
+candidatos puede retroceder. Esto es perfectamente lícito pues no hay ninguna regla que obligue a 
+que la distribución de los candidatos sea un paseo aleatorio. De hecho podría utilizarse perfectamente 
+un generador de candidatos con origen fijo, aunque sólo funcionaría en la práctica si se conoce una 
+buena aproximación de la función de densidad que sea fácil de generar y calcular. Aún así, como el 
+comportamiento mayoritario será el de un paseo aleatorio mantendremos la nomenclatura con todas las 
+reservas enunciadas.
 
 === Paseo aleatorio radial asimétrico ===
-Otra forma similar a la anterior pero que podría adaptarse mejor caundo el punto se acerca 
-demasiado a la frontera, e incluso es válido si está en la propia frontera.
+A continuación de define otra forma de generador factible similar a la anterior pero que podría 
+adaptarse mejor cuando el punto se acerca demasiado a la frontera, e incluso es válida si está en 
+la propia frontera.
 
 Se trataría de tomar una dirección unitaria aleatoria [[LatexEquation(u \wedge \left\Vert u\right\Vert = 1)]], 
@@ -146 +165 @@
 [[LatexEquation(h \sim U\left[h^{-},h^{+}\right] \wedge h^{-} \le 0 \le h^{+}  )]]
 
-Los pasos para conseguirlo serían los siguientes
+==== Función de densidad ====
+La función de densidad en este caso es simplemente proporcional al inverso de la longitud del intervalo, 
+luego su logaritmo salvo una constante será
+
+[[LatexEquation( \ln Q\left(x,y\right) = -\ln\left(h^{+}-h^{-}\right)  )]]
+
+Aunque no se explicita está claro que la longitud del intervalo depende del punto de origen por 
+lo que el generador no es simétrico.
+
+==== Función generatriz ====
+Los pasos para muestrear un candidato serían los siguientes
  1. Si los puntos [[LatexEquation( x - s u)]] y [[LatexEquation( x + s u)]] son ambos factibles
     entonces se toma [[LatexEquation( h^{-} = -s)]] y [[LatexEquation( h^{+} = +s )]]