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Timestamp:

Feb 1, 2011, 2:38:45 PM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerRandWalkInPolytope

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+[[PageOutline]]
 = Generación de candidatos factibles en un politopo =
 
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 Se hace necesario por lo tanto disponer de un generador de candidatos que por construcción estén siempre dentro del politopo, es decir un generador de candidatos factibles. Tal generador no podrá ser simétrico por lo que será necesario no sólo poder generar muestras sino también calcular su densidad de una forma eficiente.
 
+=== Definiciones ===
 Dado un punto [[LatexEquation(x)]] estrictamente interior al politopo 
 
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 la distancia al [[LatexEquation(i)]]-ésimo hiperplano viene dada por la fórmula
 
-[[LatexEquation( \rho_i = \frac{\left|\left(\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}A_{ij}\beta_{j}\right)-a_{i}\right|}{\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}A_{ij}^{2}}  \forall i=1\ldots r)]]
+[[LatexEquation( \left\langle x,\mathcal{H}\left(A_i,a_i\right)\right\rangle  = \frac{\left|\left(\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}A_{ij}x_{j}\right)-a_{i}\right|}{\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}A_{ij}^{2}}  \forall i=1\ldots r)]]
+
+Llamaremos distancia de un punto a la frontera del politopo a la menor de las distancias a cada uno de sus hiperplanos, la cual por ser el punto interior ha de ser forzosamente positiva
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+[[LatexEquation( \left\langle x,\mathcal{P}\left(A,a\right)\right\rangle =  \underset{i=1\ldots r}{min}\left\{ \left\langle x,\mathcal{H}\left(A_i,a_i\right)\right\rangle \} > 0 )]]
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+=== Distribución de los candidatos ===
+Se propone utilizar un generador con distribución uniforme en una hiperesfera centrada en el último punto generado y que esté incluida estrictamente en el politopo lo cual será cierto si el radio es menor que la distancia del punto a la frontera:
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+[[LatexEquation( \begin{array}{c} y=x+ v\\ A y \leq a\\ \left\Vert v\right\Vert \le \rho \\ 0 < \rho < \left\langle x,\mathcal{P}\left(A,a\right)\right\rangle \end{array}  )]]
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