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Timestamp:

Feb 1, 2011, 3:01:03 PM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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 Se propone utilizar un generador con distribución uniforme en una hiperesfera centrada en el último punto generado y que esté incluida estrictamente en el politopo lo cual será cierto si el radio es menor que la distancia del punto a la frontera:
 
-[[LatexEquation( \begin{array}{c} y=x+ v\\ A y \leq a\\ \left\Vert v\right\Vert \le \rho \\ 0 < \rho < \left\langle x,\mathcal{P}\left(A,a\right)\right\rangle \end{array}  )]]
+[[LatexEquation( \begin{array}{c} y=x + h u\\ A y \leq a\\ \left\Vert u\right\Vert = 1 \\ 0 < h \le \rho < \left\langle x,\mathcal{P}\left(A,a\right)\right\rangle \end{array}  )]]
 
+Al igual que se hace con los generadores simétricos habituales es necesario fijar un tamaño de paso máximo [[LatexEquation(s)]] que para que se generen puntos no demasiado lejanos del acutual, de forma que el ratio de aceptación sea razonable.
+De esta forma se podría definir el radio de la hiperesfera como
 
+[[LatexEquation(\rho=\rho\left(x; s, \lambda\right)=min\left\{ s,\left\langle x, \lambda \mathcal{P}\left(A,a\right)\right\rangle \right\}  \wedge 0<\lambda<1)]]
+
+Para poder muestrear puntos cercanos a la frontera sería conveniente que [[LatexEquation(\lambda)]] fuera cercano a 1, pero no tanto como para que los candidatos se quedaran demasiado cerca de esta oligado a que el radio se estrechara cada vez más.
+
+==== Función de densidad ====
+La densidad del generador será porporcional al inverso del volumen de la hiperesfera y su logaritmo será, salvo una constante
+
+[[LatexEquation( ln Q\left(x,y\right) = n ln \rho\left(x; s, \lambda\right))]]
+
+el cual depende de la posición del punto de partida respecto a las fronteras del politopo y no es por tanto un generador simétrico necesariamente, auqnue sí puede serlo eventualmente si el la distancia del punto a la frontera es menor que el tamaño de paso actual.
+
+==== Función generatriz ====
+
+Para generar un candidato [[LatexEquation(y)]] a partir del actual [[LatexEquation(x)]] con esta distribución se procederá como sigue
+
+ 1. Primero se simulará un vector multinormal estandarizado [[BR]] [[BR]]
+    [[LatexEquation(w\sim Normal\left(0,I\right)\in\mathbb{R}^{n} )]] [[BR]] [[BR]]
+ 1. Dividiendo ese vector por su norma euclídea se obtendrá una dirección unitaria uniforme en la frontera de la hiperesfera de radio 1 centrada en el origen [[BR]] [[BR]]
+    [[LatexEquation( u=\frac{w}{\left\Vert w\right\Vert _{2}}  )]] [[BR]] [[BR]]
+ 1. Luego se multiplica ese vector por un radio [[LatexEquation(h)]] con densidad directamente proporcional a la hipersuperficie de dimensión n-1 de la hiperesfera correspondiente[[BR]] [[BR]]
+    [[LatexEquation( \begin{array}{c} F\left(h\right)=\intop_{0}^{h}c\cdot t^{n-1}\mathbf{d}t=\left.\frac{c}{n}t^{n}\right]_{0}^{h}=\frac{c}{n}h^{n}\\ F\left(\rho\right)=\frac{c}{n}\rho^{n}=1\Rightarrow c=n\rho^{-n}\\ F\left(h\right)=\left(\frac{h}{\rho}\right)^{n}\end{array} )]] [[BR]] [[BR]]