source: tol/doc/modeling/BSR/BSR_P3_S3_BsrHlm_casuistica.lyx

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\begin_layout Chapter
\begin_inset LatexCommand label
name "cha:Casuística"

\end_inset

Casuística
\end_layout

\begin_layout Standard
Se describen diferentes casos y modalidades de uso del sistema Bsr-Hlm,
 especialmente indicados para sistemas de modelación masiva de series de
 demanda, pero que pueden muchas veces extrapolarse a otros fenómenos.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Introducción
\end_layout

\begin_layout Standard
En la modelación masiva de los Sistemas de Atención Dinámica de la Demanda
 es bastante habitual que el número de variables crezca desmesuradamente
 dada la complejidad de los sistemas de promoción, efectos calendario, meteoroló
gicos, etc.; que se entrelazan entre sí en formas que no siempre son fáciles
 de parametrizar escuetamente.
 Al aumentar los grados de libertad, los modelos estimados por máxima verosimili
tud de forma independiente pueden sobreajustar los datos, con consecuencias
 fatales en la inferencia extramuestral que de ellos se pueda desprender.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Uno de los objetivos fundamentales de la estimación bayesiana de un Modelo
 Jerárquico Lineal (HLM, Hierarquical Lineal Model) es restringir de forma
 probabilística el conjunto de valores que pueden adoptar los parámetros
 que intervienen en los distintos modelos, merced a todo el conocimiento
 a priori de que se disponga, para reducir los grados de libertad reales
 y alcanzar una mayor superficie de contraste.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por razones de eficiencia y simplicidad algorítmica, las restricciones probabilí
sticas han de tener concretamente distribuciones multinormales truncadas.
 Por lo tanto, las relaciones entre un conjunto de variables aleatorias
 se deberán expresar paramétricamente diciendo que dichas variables, o cierta
 combinación lineal de ellas, tienen una distribución conjunta multinormal
 truncada por un conjunto de restricciones desigualdad lineal, con un vector
 de medias y una matriz de covarianzas que debe explicitar el analista para
 ajustar su conocimiento a priori.
\end_layout

\begin_layout Section
Restricciones de homogeneidad
\end_layout

\begin_layout Standard
Este tipo de restricciones aparecen cuando se sabe que determinados parámetros
 no deberían ser demasiado distintos de ciertos otros por responder a fenómenos
 del mismo tipo en circunstancias parecidas.
 Se trata simplemente de aplicar el principio de continuidad que es uno
 de los pilares de la ciencia moderna, restringiendo de forma probabilística
 el conjunto de valores que pueden adoptar los parámetros que intervienen
 para reducir la libertad de movimiento de los parámetros y alcanzar una
 mayor superficie de contraste sin restar la dimensionalidad necesaria para
 adaptarse a la complejidad intrínseca a la naturaleza del problema.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Homogeneidad simple o unifactorial
\end_layout

\begin_layout Standard
Tenemos 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 nodos observados 
\begin_inset Formula $\left\{ N_{j}^{\text{obs}}\right\} _{j=1\ldots m}$
\end_inset

 en los que aparece en cada uno una variable 
\begin_inset Formula $\beta_{k[i,j]}^{(1)}$
\end_inset

 referida a un mismo input 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 para todos ellos, y que presumimos que no debe variar mucho de uno a otro.
 Con 
\begin_inset Formula $k[i,j]$
\end_inset

 representamos la función de indexación que devuelve la variable asociada
 al 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 -ésimo input para el 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésimo nodo observado.
 En el caso de distribución de prensa valdría de ejemplo una promoción concreta
 que \InsetSpace \space{}
afecta a una región geográfica específica.
\end_layout

\begin_layout Standard
La restricción de homogeneidad que se desea imponer es que dichas variables
 han de estar en torno a un mismo valor fijo con errores independientes
 entre sí.
 Para ello se definirá un nodo latente con una sola variable por cada input
 y matriz de covarianzas diagonal dependiente tanto del input como del output.
\end_layout

\begin_layout Standard
El usuario tiene que definir los valores 
\begin_inset Formula $\sigma_{k}$
\end_inset

 con los que controlará el grado de homogeneidad que quiere forzar.
 En ausencia de información más concreta, un criterio bastante razonable
 para reducir las hipótesis
\shape italic
 a priori
\shape default
 a un sólo parámetro, es hacer que las varianzas sean inversamente proporcionale
s a las longitudes muestrales de cada nodo observado.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\sigma_{k[i,j]}^{2}=\sigma_{k[i,1]}^{2}\frac{T_{j}}{T_{1}}\forall j=1\ldots m\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por supuesto que el usuario puede establecer otro tipo de configuración
 de varianzas e incluso establecer covarianzas no nulas entre los distintos
 nodos observados, pero ello debería de estar fundamentado en un conocimiento
 
\shape italic
a priori
\shape default
 al menos tan sólido como la proporcionalidad de la varianza muestral respecto
 al inverso de la longitud de la muestra.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si además se quiere forzar que las variables de los nodos observados estén
 en el entorno de un valor fijo 
\begin_inset Formula $\overset{\circ}{\mu}_{i}$
\end_inset

 para cada input conocido como resultado, por ejemplo, de una estimación
 global previa, entonces bastaría con añadir a lo anterior un nodo 
\shape italic
a priori
\shape default
 con matriz de covarianzas diagonal
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{equation}
\beta_{i}^{(2)}\sim N(\overset{\circ}{\mu}_{i},\overset{\circ}{\Sigma}_{i})\wedge\overset{\circ}{\Sigma}_{i,i'}=0\forall i\neq i'\wedge\overset{\circ}{\Sigma}_{i,i}=\overset{\circ}{\sigma}_{i}^{2}\end{equation}

\end_inset


\end_layout

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