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Timestamp:

Sep 15, 2011, 7:45:20 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysDecision

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 Nótese que en lugar de función de coste podría definirse una función de beneficio a maximizar sin más 
-que multiplicarla por menos uno.
+que multiplicarla por menos uno. Cuando el beneficio se mide en dinero hay que tener en cuenta que 
+lo que importa en realidad es la utilidad de la riqueza para el decisor, que será una función cóncava 
+para decisores aversos al riesgo, convexa para los amantes del riesgo y lineal para los neutros frente 
+al riesgo.
 
 === Decisión binaria ===
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 Por ejemplo, en las apuestas deportivas se puede decidir apostar cualquier cantidad de dinero entre 
-0 y el máximo admitido por la casa de apuestas, mientras que el conjunto de resultados posibles suele 
-ser finito y muy pequeño: {gana local,gana visitante}, {1,X,2}, etc.
+0 y el máximo disponible por el decisor y admitido por la casa de apuestas, mientras que el conjunto 
+de resultados posibles suele ser finito y muy pequeño: {gana local,gana visitante}, {1,X,2}, etc.
 
 === Decisión biunívoca ===
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 Si el cliente es refractario a estos conceptos y no hay forma de averiguarla sin su colaboración, 
-el analista sería muy libre de buscar su propia función de coste, entendido como el grado de 
+el analista sería muy libre de buscar su propia función de coste, entendida como el grado de 
 rechazo por parte del cliente de las "previsiones" entregadas, o mejor aún, estableciendo en 
 el contrato de servicio el precio según cada tipo de error. Si se observa que al cliente le gusta 
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 En ausencia de información, se suele maximizar la verosimilitud, que en el caso de residuos 
-normales independientes y estandarizados, sería igual que minimizar la suma de cuadrados de los sesgos. 
-En el ejemplo explicado anteriormente de las log-normales cuya suma debe dar otra 
+normales independientes y estandarizados, sería igual que minimizar la suma de cuadrados de los 
+sesgos. En el ejemplo explicado anteriormente de las log-normales cuya suma debe dar otra 
 log-normal, habría que transformar las variables para obtener residuos normales estandarizados 
-e independientes, y sustituir en la ecuación de restricción la variable original por su expresión en 
-términos de ellos. Esta situación es generalizable a cualquier tipo de restricciones de igualdad y/o 
-desigualdad
+e independientes, y sustituir en la ecuación de restricción la variable original por su 
+expresión en términos de ellos. Esta situación es generalizable a cualquier tipo de 
+restricciones de igualdad y/o desigualdad
 
 [[LatexEquation( H\left(\mathcal{X}\right) = 0 )]]
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 [[LatexEquation( z=T\left(\mathcal{X}\right)\sim N\left(\mu,\Sigma\right) )]]
 
-Los residuos normales estandarizados e independientes serían
-
-[[LatexEquation( \xi=L^{-1}\cdot\left(z-\mu\right)\sim N\left(0,I\right)\wedge\Sigma=L\cdot L^{T} )]]
+Para estandarizar los residuos necesitamos de una descomposición simétrica de la matriz de covarianzas 
+
+[[LatexEquation( \Sigma=L\cdot L^{T} )]]
+
+que podría ser la de Cholesky si [[LatexEquation( \Sigma )]] es definida positiva. De lo contrario 
+habría que utilizar otra descomposición como la de valor singular para reducir las dimensiones
+de los residuos normales estandarizados e independientes al rango de la matriz de covarianzas. 
+
+[[LatexEquation( \Sigma=V \cdot D \cdot V^{T} )]]
+[[LatexEquation( L = V \cdot D^{1/2} \in\mathbb{R}^{r}\:\wedge r<n)]]
+
+En cualquier caso, los residuos normales estandarizados e independientes serían
+
+[[LatexEquation( \xi=L^{+}\cdot\left(z-\mu\right)\sim N\left(0,I\right)\wedge\Sigma=L\cdot L^{T} )]]
 
 Siguiendo este criterio máximo-verosímil, la decisión óptima en la métrica transformada sería 
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 [[LatexEquation(C\left(\delta\right)=E\left[c\left(\delta,\mathcal{\xi}\right)\right]=E\left[\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2}-1\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}E\left[\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}\xi_{i}+\xi_{i}^{2}-1\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}E\left[\xi_{i}\right]+E\left[\xi_{i}^{2}\right]-1\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\delta_{i}^{2})]]
 
-Puesto que la constante aditiva es irrelevante, la función de coste equivalente podría ser igualmente
+Como la constante aditiva es irrelevante, la función de coste equivalente podría ser igualmente
 
 [[LatexEquation(c\left(\delta,\xi\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2})]]