Changes between Version 21 and Version 22 of OfficialTolArchiveNetworkBysDecision

Timestamp:

Sep 15, 2011, 8:19:24 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysDecision

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 que podría ser la de Cholesky si [[LatexEquation( \Sigma )]] es definida positiva. De lo contrario 
 habría que utilizar otra descomposición como la de valor singular para reducir las dimensiones
-de los residuos normales estandarizados e independientes al rango de la matriz de covarianzas. 
-
-[[LatexEquation( \Sigma=V \cdot D \cdot V^{T} )]]
-
-[[LatexEquation( L = V \cdot D^{1/2} \in\mathbb{R}^{r}\:\wedge r<n)]]
+de los residuos normales estandarizados e independientes al rango [[LatexEquation( r )]] de la 
+matriz de covarianzas. 
+
+[[LatexEquation( \Sigma=V \cdot D \cdot V^{T} \wedge V \in\mathbb{R}^{n \times r} \: \wedge D \in\mathbb{R}^{r \times r} \: \wedge r<n )]]
+
+donde [[LatexEquation( V )]] es ortonormal, es decir, [[LatexEquation( V^{T} \cdot V = I_{r} )]], y 
+[[LatexEquation( D )]] es diagonal con todos los valores diagonal estrictamente positivos.
+
+La matriz de descomposición se puede definir entonces como
+
+[[LatexEquation( L = V \cdot D^{1/2} \in\mathbb{R}^{n \times r}\:\wedge r<n)]]
 
 En cualquier caso, los residuos normales estandarizados e independientes serían
 
-[[LatexEquation( \xi=L^{+}\cdot\left(z-\mu\right)\sim N\left(0,I\right)\wedge\Sigma=L\cdot L^{T} )]]
+[[LatexEquation( \xi=L^{+}\cdot\left(z-\mu\right)\sim N\left(0,I\right)\in\mathbb{R}^{r} )]]
+
+donde la pseudo-inversa de la matriz de descomposición simétrica sería
+
+ * si [[LatexEquation( r=n \Longrightarrow L^{+} = L^{-1} )]] 
+ * si [[LatexEquation( r<n \Longrightarrow L^{+} = D^{-1/2} \cdot V^{T} )]] 
 
 Siguiendo este criterio máximo-verosímil, la decisión óptima en la métrica transformada sería 
 por tanto la solución del programa no lineal
 
-[[LatexEquation( \underset{\delta}{min}\left\{ \delta^{T}\cdot\delta=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\delta_{i}^{2}\right\}  )]]
+[[LatexEquation( \underset{\delta}{min}\left\{ \delta^{T}\cdot\delta=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\delta_{i}^{2}\right\}  )]]
 
 Sujeto a:
@@ -197 +208 @@
 Este cálculo es formalmente idéntico al de la decisión bayesiana óptima para la función de coste
 
-[[LatexEquation(c\left(\delta,\xi\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2}-1\right))]]
+[[LatexEquation(c\left(\delta,\xi\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\left(\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2}-1\right))]]
 
 puesto que en tal caso la función a minimizar sería el coste esperado
 
-[[LatexEquation(C\left(\delta\right)=E\left[c\left(\delta,\mathcal{\xi}\right)\right]=E\left[\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2}-1\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}E\left[\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}\xi_{i}+\xi_{i}^{2}-1\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}E\left[\xi_{i}\right]+E\left[\xi_{i}^{2}\right]-1\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\delta_{i}^{2})]]
+[[LatexEquation(C\left(\delta\right)=E\left[c\left(\delta,\mathcal{\xi}\right)\right]=E\left[\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\left(\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2}-1\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}E\left[\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}\xi_{i}+\xi_{i}^{2}-1\right]=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\left(\delta_{i}^{2}-2\delta_{i}E\left[\xi_{i}\right]+E\left[\xi_{i}^{2}\right]-1\right))]]
+
+Sabemos por definición que 
+
+[[LatexEquation( E\left[\xi_{i}\right]=0 \: \wedge \: E\left[\xi_{i}^{2}\right]=1 )]] 
+
+así que nos queda
+
+[[LatexEquation(C\left(\delta\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\delta_{i}^{2})]]
 
 Como la constante aditiva es irrelevante, la función de coste equivalente podría ser igualmente
 
-[[LatexEquation(c\left(\delta,\xi\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2})]]
+[[LatexEquation(c\left(\delta,\xi\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\sum}}\left(\delta_{i}-\xi_{i}\right)^{2})]]
 
 En la siguiente imagen se puede ver la gráfica del coste esperado para una normal unidimensional con