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Version 3 (modified by Víctor de Buen Remiro, 13 years ago) (diff)

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  1. Package BysSampler
    1. Definiciones
      1. Decisión binaria
      2. Decisión continua
      3. Decisión biunívoca
      4. Decisión con restricciones

Package BysSampler

El paquete BysDecision ofrece utilidades relacionadas con problemas de decisión bayesiana en ambiente de incertidumbre.

Definiciones

Sea \Omega \subset \mathbb{R}^{m} el espacio de todas las decisiones o acciones posibles que puede tomar un decisor.

Sea una variable aleatoria vectorial \mathcal{X} con dominio \Upsilon\subset\mathbb{R}^{n} cuya distribución conjunta es conocida y que recoge todas las situaciones de las cuales no es posible tener un conocimiento determinista antes de tomar la decisión.

Para cada posible decisión d\in\Omega y cada posible situación x\in\mathbb{R}^{n} , es decir cada posible realización de \mathcal{X} , el coste de la acción para el decisor es una función real conocida

c\left(d,x\right):\Omega\times\Upsilon\rightarrow\mathbb{R}

Se pretende encontrar la decisión que minimiza la esperanza del coste

C\left(d\right)=E\left[c\left(d,\mathcal{X}\right)\right]

Nótese que en lugar de función de coste podría definirse una función de beneficio a maximizar sin más que multiplicarla por menos uno.

Decisión binaria

Cuando sólo hay dos posibles acciones, \Omega = \left\{ 0,1\right\} hablaremos de decisión binaria o booleana. Por ejemplo, un agricultor debe decidir si ir a regar un campo o no hacerlo, pero no puede decidir qué cantidad de agua utilizar debido al método de riego. El coste de la acción depende de que llueva o no y en qué medida lo haga:

  • Si decide regar:
    • y no llueve de forma significativa el coste de la acción es nulo,
    • y llueve de forma moderada pierde el tiempo y el combustible necesarios para desplazarse,
    • y llueve de forma excesiva pierde además parte de la cosecha de forma proporcional al exceso de agua.
  • Si decide no regar:
    • y no llueve de forma significativa pierde toda la cosecha
    • y llueve de forma moderada el coste de la acción es nulo,
    • y llueve de forma excesiva pierde parte de la cosecha de forma proporcional al exceso de agua.

La importancia de este tipo de problemas reside en que cualquier problema de decisión en el que haya un número finito de opciones cualitativas puede reformularse como un árbol de decisiones binarias.

Decisión continua

Si el conjunto de decisiones \Omega tiene medida no nula en \mathbb{R}^{n} . Esto no implica necesariamente que la variable aleatoria sea continua.

Por conveniencia, también se aplicará esta etiqueta cuando el espacio de opciones sea discreto y ordenado y el número de opciones sea suficientemente grande para despreciar el efecto de la discretización.

Por ejemplo, en las apuestas deportivas se puede decidir apostar cualquier cantidad de dinero entre 0 y el máximo admitido por la casa de apuestas, mientras que el conjunto de resultados posibles suele ser finito y muy pequeño: {gana local,gana visitante}, {1,X,2}, etc.

Decisión biunívoca

Cuando cada posible decisión se puede asociar de forma biunívoca a cada posible situación, es decir, \Omega = \Upsilon , entonces diremos que se trata de decisión biunívoca. Un caso típico es la distribución de material perecedero para su venta entre un conjunto de n puntos de venta, en el que la demanda en cada punto de venta sería la variable aleatoria. Si se pone en servicio demasiado material en un punto dado, el exceso se perderá total o casi totalmente, si es posible reciclarlo en alguna medida, mientras que si se sirve poco se pierde el beneficio de la venta no realizada y se aumenta el riesgo de que la clientela se pase a la competencia. Tanto las decisiones posibles como las situaciones inciertas son en este caso

\Omega = \Upsilon = \left[0,\infty\right]^{n}

Este tipo de problemas pueden resolverse mediante técnicas de optimización continua muy eficaces y robustos, especialmente cuando el dominio es continuo.

Decisión con restricciones

Supongamos que en el caso anterior existen restricciones como por ejemplo que la suma de las cantidades distribuidas no pueda superar las existencias disponibles, que la forma de empaquetar la mercancía sólo permite servir valores múltiplos de cierta cantidad, ...

Ya no se puede hablar propiamente de decisión biunívoca pues el conjunto de decisiones es un subconjunto del de situaciones pero también están disponibles las mismas o gran parte de las técnicas de optimización aplicables a esta clase de problemas.