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Jan 4, 2011, 5:28:44 PM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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 Sea la distancia euclídea del punto [[LatexEquation( x_{i} )]] a su [[LatexEquation( k )]]-ésimo vecino más próximo[[BR]][[BR]]
   [[LatexEquation( r_{i,k}=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{n}{\sum}}\left(y_{i,k,d}-x_{i,d}\right)^{2}} )]] [[BR]][[BR]]
+  
+En cada punto muestral definiremos pues el entorno local como la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i,k} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]]
 
-== Distribución del cardinal de cada entorno local ==
+  [[LatexEquation( \Omega_{i}=\left\{ y\in\mathbb{R}^{n}\left|\left\Vert y-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i,k}\right.\right\}  )]]
 
-Así las cosas tenemos que el cardinal de cada entorno local, es decir, el número total de puntos muestrales en la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i,k} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]] es [[BR]][[BR]]
+== Distribución del cardinal local ==
+
+Así las cosas tenemos que el cardinal local, es decir, el número total de puntos muestrales en [[LatexEquation( \Omega_{i} )]], es [[BR]][[BR]]
   [[LatexEquation( h_{i} = k+s_i)]] [[BR]][[BR]]
 cantidad que se distribuye como una binomial [[BR]][[BR]]
   [[LatexEquation( \eta_{i} = B\left(S, p_i\rigtht))]]
 donde [[LatexEquation( p_i )]] es la probabilidad de la hiperesfera, es decir, la integral de la función de densidad en cada entorno local [[BR]][[BR]]
-  [[LatexEquation( p_{i}=\int_{\left\Vert y-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i,k}}\pi\left(y\right)\mathrm{d}y )]] [[BR]]
+  [[LatexEquation( p_{i}=\int_{\Omega_{i}}\pi\left(y\right)\mathrm{d}y  )]] [[BR]]
 
 == Aproximación de la probabilidad del entorno local ==
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 aunque cabría pensar que en los entornos de relieve más complicado el error puede ser mayor que en las zonas más suaves.
   
+Dicho de otra forma
+
+  [[LatexEquation( \ln p_{i}\sim N\left(\mu_{i},\sigma\right)  )]]
+
+con
+  
+  [[LatexEquation( \mu_{i}=\lambda_{1}+\ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k}   )]]
+  
   
 == Verosimilitud de la constante ==
@@ -71 +83 @@
   [[LatexEquation( \ln\left(P_{i}\right)=\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+h_{i}\ln p_{i}+\left(S-h_{i}\right)\ln\left(1-p_{i}\right) )]] [[BR]]
 
-Buscaremos los valores de [[LatexEquation(\lambda_1)]] y [[LatexEquation(\sigma)]] que maximizan la verosimilitud 
-  [[LatexEquation( \underset{\lambda_{1},\sigma}{\max}\left\{ \underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\ln\left(P_{i}\left(\lambda_{1}\right)\right)\right\}   )]] [[BR]]
+La verosimilitud de [[LatexEquation(\lambda_1)]] y [[LatexEquation(\sigma)]] será la suma ponderada por las repeticiones del producto de la probabilidad anterior por la densidad del error de aproximación [[BR]]
+  [[LatexEquation( L\left(\lambda_{1},\sigma\right)=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\left(\ln\left(P_{i}\left(\lambda_{1}\right)\right)-\frac{S'}{2}\ln\left(2\pi\right)-S'\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2\sigma^{2}}\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}\xi_{i}^{2}\right) )]] [[BR]]
 
-Puesto que la probabilidad [[LatexEquation(p_i)]] no puede ser mayor que 1 tendrá que cumplir la siguiente restricción [[BR]] [[BR]]
+Como depende de los errores de aproximación que no son contrastables habría que simularlos, lo cual podrái resultar muy costoso, o bien aproximar la esperanza 
+
+  [[LatexEquation( E\left[L\left(\lambda_{1},\sigma\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\left(E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]-\frac{S'}{2}\ln\left(2\pi\right)-S'\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2}S'\right) )]]
+
+Para ello se puede desarrollar para la función
+
+  [[LatexEquation( f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)=\alpha\left(\ln\left(\gamma\right)+\xi\right)+\beta\ln\left(1-\exp\left(\ln\left(\gamma\right)+\xi\right)\right) )]]
+  
+la serie de Taylor de orden 2 centrada en 0  
+  
+  [[LatexEquation( f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)=f\left(0\right)+\left(\alpha-\frac{\beta\gamma}{1-\gamma}\right)\xi-\frac{1}{2}\beta\frac{\gamma}{1-\gamma}\left(1+\frac{\gamma}{1-\gamma}\right)\xi^{2}+O\left(\xi^{3}\right) )]]
+  
+Si [[LatexEquation( \xi\sim N\left(0,\sigma\right) )]] entonces la esperanza de esta función es aproximadamente
+
+  [[LatexEquation( E\left[f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)\right]\approx f\left(0\right)-\frac{1}{2}\frac{\gamma}{1-\gamma}\left(1+\frac{\gamma}{1-\gamma}\right)\beta\sigma^{2} )]]
+  
+Como resulta que 
+
+  [[LatexEquation( \ln\left(P_{i}\right)=\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+f\left(\xi_{i};h_{i},S-h_{i},e^{\mu_{i}}\right) )]]
+  
+su esperanza se puede aproximar como
+
+  [[LatexEquation( E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]\approx\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+E\left[f\left(\xi_i;h_{i},S-h_{i},e^{\mu_{i}}\right)\right]  )]]
+  
+es decir
+  
+  [[LatexEquation( E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]\approx\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+h_{i}\mu_{i}+\left(S-h_{i}\right)\ln\left(1-e^{\mu_{i}}\right)-\frac{1}{2}\frac{e^{\mu_{i}}}{1-e^{\mu_{i}}}\left(1+\frac{e^{\mu_{i}}}{1-e^{\mu_{i}}}\right)\left(S-h_{i}\right)\sigma^{2} )]]
+ 
+Puesto que la probabilidad [[LatexEquation(p_i)]] no puede ser mayor que 1, [[LatexEquation(\lambda_1)]] tendrá que cumplir la siguiente restricción [[BR]] [[BR]]
   [[LatexEquation( \lambda_{1}\leq-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \ln\left(\pi_{i}+\underset{j=1}{\overset{k}{\prod}}\pi_{i,j}\right)+n\ln r_{i,k}+\xi_{i}\right\}  )]] [[BR]]
-  
   
 == Test de super-población ==
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