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Timestamp:

Jan 10, 2011, 12:57:42 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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   [[LatexEquation( S=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i} )]]
 
-No está claro por el momento cuál podría ser el criterio para seleccionar el número [[LatexEquation( k )]] de vecinos en cada entorno, pero debe ser en cualquier caso un número bastante pequeño en relación con [[LatexEquation( S' )]] pues se trata de observar el comportamiento a nivel local. También ha de ser bastante pequeño en términos absolutos porque la complejidad del algoritmo KNN crece cuadráticamente con el tamaño del vecindario. Tampoco puede ser excesivamente pequeño porque entonces quedarían amplias zonas del espacio sin recubrir por no estar lo suficientemente cerca de ninguno de los puntos muestreados. Lo ideal sería tomar un sistema de entornos que recubriera de forma conexa y compacta la muestra, aunque eso no parece facil de comprobar a primera vista. Tampoco es en principio obligatorio tomar el mismo número de puntos en cada entorno aunque por el momento supondremos que es así.
+||[[Image(source:/tolp/OfficialTolArchiveNetwork/BysSampler/doc/mcmc-post-filtering/mcmc.post-filter.007.png)]][[BR]]'''Fig 7:''' ''Entorno de 7 vecinos''||No está claro por el momento cuál podría ser el criterio para seleccionar el número [[LatexEquation( k )]] de vecinos en cada entorno, pero debe ser en cualquier caso un número bastante pequeño en relación con [[LatexEquation( S' )]] pues se trata de observar el comportamiento a nivel local.[[BR]][[BR]]También ha de ser bastante pequeño en términos absolutos porque la complejidad del algoritmo KNN crece cuadráticamente con el tamaño del vecindario. [[BR]][[BR]]No puede ser excesivamente pequeño porque entonces quedarían amplias zonas del espacio sin recubrir por no estar lo suficientemente cerca de ninguno de los puntos muestreados. Lo ideal sería tomar un sistema de entornos que recubriera de forma conexa y compacta la muestra, aunque eso no parece facil de comprobar a primera vista. [[BR]][[BR]]No es en principio obligatorio tomar el mismo número de puntos en cada entorno aunque por el momento supondremos que es así.||
 
 Sean los [[LatexEquation( k )]] puntos muestrales vecinos de [[LatexEquation( x_{i} )]] en orden de proximidad al mismo
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   [[LatexEquation( \ln\pi_{i,j}=\ln\pi\left(y_{i,j}\right)+\lambda_1 )]]
 
-Como evaluar la función demasiadas veces podría ser muy costoso la única forma de mejorar la aproximación de la integral es por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. Esto es especialemente recomendable si existen grandes diferencias en las verosimilitudes de los distintos puntos del vecindario. La interpolación será mejor realizarla en términos logarítmicos pues eso suavizará la función.
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-Para ello generaremos [[LatexEquation( N )]] puntos con distribución uniforme en la hiperesfera
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-  [[LatexEquation( \left\Vert z_{i,j}-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i} \wedge j=1 \dots N )]]
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-y calculamos la aproximación del logaritmo de la verosimilitud en cada uno de ellos mediante la fórmula de ponderación de Sheppard
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+  || Como evaluar la función demasiadas veces podría ser muy costoso la única forma de mejorar la aproximación de la integral es por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. Esto es especialemente recomendable si existen grandes diferencias en las verosimilitudes de los distintos puntos del vecindario. La interpolación será mejor realizarla en términos logarítmicos pues eso suavizará la función.[[BR]][[BR]]Para ello generaremos [[LatexEquation( N )]] puntos con distribución uniforme en la hiperesfera[[BR]][[BR]]  [[LatexEquation( \left\Vert z_{i,j}-x_{i}\right\Vert ^{2}\leq r_{i} \wedge j=1 \dots N )]][[BR]][[BR]]y calculamos la aproximación del logaritmo de la verosimilitud en cada uno de ellos mediante la fórmula de ponderación de Sheppard||[[Image(source:/tolp/OfficialTolArchiveNetwork/BysSampler/doc/mcmc-post-filtering/mcmc.post-filter.008.png)]][[BR]]'''Fig 8:''' ''Entorno de 7 vecinos y 78 puntos de aproximación''
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   [[LatexEquation( \ln\pi\left(z\right)-\lambda_{1}\backsimeq\ln\tilde{\pi}\left(z\right)=\frac{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)\ln\pi_{i,j}}{\underset{j=0}{\overset{k}{\sum}}w_{j}\left(z\right)}\wedge y_{i,0}=x_{i}\wedge\pi_{i,0}=\pi_{i}\wedge w_{j}\left(z\right)=\left\Vert z-y_{i,j}\right\Vert ^{-2}  )]]
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-Si el número [[LatexEquation( k+1 )]] de puntos básicos de la interpolación [[LatexEquation( y_{i,j} \wedge j=0 \dots k)]], es demasiado pequeño se puede ampliar con sus vecinos, los vecinos de sus vecinos y así sucesivamente hasta que haya suficientes puntos básicos distintos. Gracias al algoritmo KNN realizado anteriormente esto no supondrá apenas ningún sobrecoste.
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+Si el número [[LatexEquation( k+1 )]] de puntos básicos de la interpolación [[LatexEquation( y_{i,j} \wedge j=0 \dots k)]], es demasiado pequeño se puede ampliar con sus vecinos, los vecinos de sus vecinos y así sucesivamente hasta que haya suficientes puntos básicos distintos. Gracias al algoritmo KNN realizado anteriormente esto no supondrá apenas ningún sobrecoste.||
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 Nos queda finalmente la fórmula de aproximación