Changes between Version 3 and Version 4 of OfficialTolArchiveNetworkBysDecision

Timestamp:

Aug 12, 2011, 7:20:30 PM (13 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

--

OfficialTolArchiveNetworkBysDecision

@@ -75 +75 @@
 
 Este tipo de problemas pueden resolverse mediante técnicas de optimización continua muy eficaces y 
-robustos, especialmente cuando el dominio es continuo.
+robustas, especialmente cuando el dominio es continuo.
 
 === Decisión con restricciones ===
@@ -87 +87 @@
 técnicas de optimización aplicables a esta clase de problemas.
 
+==== Combinación de previsiones ====
+
+Un caso particular decisión con restricciones, que resulta  muy interesante para los analistas de datos 
+estadísticos es la mal llamada ''combinación de previsiones'', refiriéndose al problema de obtener 
+estadísticos de un conjunto de variables aletarorias que sean congruentes con ciertas restricciones 
+que en realidad deben cumplir dichas variables aleatorias, y por ende cada una de sus realizaciones 
+conjuntas. 
+
+Si las distribuciones son todas normales y las restricciones son todas lineales, la media cumplirá 
+dichas restricciones, pero en cualquier otro caso esto no ocurrirá así, y no siempre se tiene presente 
+este hecho.
+
+Un ejemplo típico de esta situación es la presencia de una variable aleatoria (a la que llamaremos 
+global) que es la suma de las demás y para la que existe un modelo (o cualquier otra no normal) con 
+menos varianza que en el de las partes también log-normales. Si el modelo se estima por simulación y 
+conjuntamente, obligando a que cada muestra cumpla las restricciones, podremos ver cómo las medias de 
+las partes no suman exactamente la media del global. Si cada modelo se estima por su lado ni las 
+realizaciones ni los estadísticos cumplirán las restricciones.
+
+Como en muchas ocasiones se confunde el concepto de previsión, que es una variable aleatoria, con
+alguno de sus estadísticos centrales (media, mediana y moda), que son simples números, los clientes 
+suelen exigen que esos números sean coherentes con ciertas ecuaciones que son incompatibles con 
+seguir siendo dichos estadísticos.
+
+El analista debe tomar una decisión que consiste en decirle al cliente que ''la previsión es 
+cierto número'' aún a sabiendas de que la previsión es una variable aleatoria y que lo que le 
+entrega no es una previsión ni un estadístico de la msima, sino una decisión que es posible 
+optimizar.
+
+Lo ideal en estos casos sería convencer al cliente para investigar cuál es su función de coste 
+real y calcularla o aproximarla en la medida de lo posible, o bien inferirla directamente si el 
+negocio es suficientemente conocido y transparente.
+
+Si el cliente es refractario a estos conceptos y no hay forma de averiguarla sin su colaboración, 
+el analista sería muy libre de buscar su propia función de coste, entendido como el grado de 
+rechazo por parte del cliente de las "previsiones" entregadas, o mejor aún, estableciendo en 
+el contrato de servicio el precio según cada tipo de error. Si se observa que al cliente le gusta 
+que el sesgo sea simétrico pues se pone una función simétrica, etc.; si prefiere equivocarse un 
+poco más al alza que a la baja pues se va probando con distintos coeficientes relativos; etc. En 
+cierta manera esto sería una forma de sonsacarle al cliente la función de coste de una forma 
+inconsciente, pues muchas veces él tiene la intuición de lo que es bueno o malo para su negocio,
+aunque no sepa o no quiera trasladarlo a una formulación matemática.
+
+En ausencia de información, el último recurso es considerar como función de coste la suma de 
+cuadrados de los sesgos, lo cual será más razonable cuanto más se parezcan los residuos a normales 
+estandarizadas e independientes. En el ejemplo explicado anteriormente de las log-normales cuya suma 
+debe dar otra log-normal, habría que transformar las variables mediante el logaritmo y 
+premultiplicarlas por una descomposición simétrica de la matriz de covarianzas, para obtener 
+residuos normales estandarizados e independientes, y sustituir en la ecuación de restricción la 
+variable original por su expresión en términos de ellos.
+
+Esta situación es generalizable a cualquier tipo de restricciones de igualdad y/o desigualdad
+
+[[LatexEquation( H\left(\mathcal{X}\right) = 0 )]]
+
+[[LatexEquation( G\left(\mathcal{X}\right) \leq 0 )]]
+
+sobre variables aleatorias transformadas de una multinormal mediante una función [[LatexEquation( T )]] 
+inversible
+
+[[LatexEquation( z=T\left(\mathcal{X}\right)\sim N\left(\mu,\Sigma\right) )]]
+
+Los residuos normales estandarizados e independientes serían
+
+[[LatexEquation( \xi=L^{-1}\cdot\left(z-\mu\right)\sim N\left(0,I\right)\wedge\Sigma=L\cdot L^{T} )]]
+
+La decisión óptima en la métrica transformada sería por tanto la solución del programa no lineal
+
+[[LatexEquation( \underset{\delta}{min}\left\{ f\left(\delta,\xi\right)=\left(\delta-\xi\right)^{2}\right\} )]]
+
+Sujeto a:
+
+  [[LatexEquation( H\left(T^{-1}\left(\mu+L\cdot\xi\right)\right)=0 )]]
+
+  [[LatexEquation( G\left(T^{-1}\left(\mu+L\cdot\xi\right)\right)\leq0 )]]
+
+Para obtener la solución en términos originales bastaría con calcular
+
+[[LatexEquation(d=T^{-1}\left(\mu+L\cdot\delta\right) )]]
+
+
 {{{
 #!comment