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Timestamp:

Jan 4, 2011, 10:25:30 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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+[[PageOutline]]
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 = Post-procesado de cadenas de Markov = 
-Los métodos tradicionales de post-procesado basados en el burn-in y el thinning son demasiado arbitrarios para poder parametrizarlos de forma automática sin intervención del usuario.
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+== Introducción == 
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+Los métodos tradicionales de post-procesado de cadenas de simulación basados en el burn-in y el thinning son demasiado arbitrarios para poder parametrizarlos de forma automática sin intervención del usuario.
 
 Las cadenas simuladas con BysSampler cuentan con una ventaja adicional al conocerse la log-likelihood de cada muestra, pues esto permite contrastarla directamente con la densidad local empírica de los puntos cercanos que han sido generados en sus cercanías.
 
-En una cadena perfectamente muestreada el número de puntos generados en torno a un punto dado debería ser proporcional a la verosimilitud  media alrededor de dicho punto. Esto permite diseñar un criterio completamente objetivo para eliminar puntos de zonas sobre-muestreadas y sustituirlos por puntos en otras zonas infra-muestreadas.
+En una cadena perfectamente muestreada el número de puntos generados en torno a un punto dado debería ser proporcional a la verosimilitud media alrededor de dicho punto. Esto permite diseñar un criterio completamente objetivo para eliminar puntos de zonas sobre-muestreadas e incluso sustituirlos por puntos en otras zonas infra-muestreadas.
 
-Una posibilidad sería utilizar el algoritmo KNN para encontrar los vecinos más próximos de cada punto de la muestra de tamaño [[LatexEquation( S' < S )]]. Como en los métodos de simulación tipo ''accept-reject'' suele haber bastantes puntos repetidos, para que el algoritmo tenga sentido habría que tomar los [[LatexEquation( S' < S )]] puntos únicos 
+== Diseño de entornos locales solapados ==
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+El método propuesto será utilizar el algoritmo [http://es.wikipedia.org/wiki/Knn KNN] que está disponible dentro del paquete TOL MatQuery, para encontrar los vecinos más próximos de cada punto de la muestra de tamaño [[LatexEquation( S )]]. Como en los métodos de simulación tipo ''accept-reject'' hay por definición puntos repetidos, para que el algoritmo tenga sentido habría que tomar los [[LatexEquation( S' < S )]] puntos únicos 
   [[LatexEquation( x_{i} \wedge i=1 \dots S' )]] [[BR]][[BR]]
 y llamar 
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   [[LatexEquation( r_{i,k}=\sqrt{\underset{d=1}{\overset{n}{\sum}}\left(y_{i,k,d}-x_{i,d}\right)^{2}} )]] [[BR]][[BR]]
 
-Así las cosas tenemos que el número total de puntos muestrales en la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i,k} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]] es [[BR]][[BR]]
+== Aproximación de la distribución del cardinal de cada entorno local ==
+  
+Así las cosas tenemos que el cardinal de cada entorno local, es decir, el número total de puntos muestrales en la hiperesfera de radio [[LatexEquation( r_{i,k} )]] y centro [[LatexEquation( x_{i} )]] es [[BR]][[BR]]
   [[LatexEquation( h_{i} = k+s_i)]] [[BR]][[BR]]
 cantidad que se distribuye como una binomial [[BR]][[BR]]
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   [[LatexEquation( \ln\pi_{i,j}=\ln\pi\left(y_{i,j}\right)+\lambda_0 )]] [[BR]]
 
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-Podemos pues aproximar dicha integral como el producto de la media de las densidades por el hipervolumen de la región hiperesférica, que será proporcional a
+Podemos pues aproximar dicha integral como el producto de la media de las verosimilitudes por el hipervolumen de la región hiperesférica, que será proporcional a
   [[LatexEquation( r^n_{i,k} )]] [[BR]]
 obteniendo la relación
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   [[LatexEquation( \lambda_{1}\leq\lambda_{2}=-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \ln\left(\pi_{i}+\underset{j=1}{\overset{k}{\prod}}\pi_{i,j}\right)+n\ln r_{i,k}\right\} )]] [[BR]]
 
-También es posible mejorar la aproximación de la integral por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. 
-  
+También es posible mejorar la aproximación de la integral por interpolación, concretamente mediante el [http://www.alglib.net/interpolation/inversedistanceweighting.php método de Sheppard de ponderación inversa a la distancia] que es muy eficiente pues no requiere de ninguna evaluación extra. Esto es especialemente recomendable si existen grandes diferencias en las verosimilitudes de los distintos puntos del vecindario. La interpolación será mejor realizarla en términos logarítmicos pues eso suavizará la función.
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+== Verosimilitud de la constante ==
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 La probabilidad de que el número de puntos que caen dentro de la hiperesfera sea exactamente [[LatexEquation(h)]] será por tanto [[BR]][[BR]]
   [[LatexEquation( P_i = \mathrm{Pr}\left[\eta_{i}=h_{i}\right]=\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)p_{i}^{h_{i}}\left(1-p_{i}\right)^{S-h_{i}} )]] [[BR]]
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   [[LatexEquation( \underset{\lambda_{1}\leq\lambda_{2}}{\max}\left\{ \underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\ln\left(\tilde{P}_{i}\left(\lambda_{1}\right)\right)\right\}  )]] [[BR]]
 
+== Test de super-población ==
+  
 La probabilidad de que el número de puntos que caen dentro de la hiperesfera sea mayor o igual que [[LatexEquation(h)]] se calcula mediante la función [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Incomplete-Beta-Function.html beta incompleta] [[BR]] [[BR]]
   [[LatexEquation( \mathrm{Pr}\left[\eta_{i}\leq h_{i}\right]=I_{1-p}\left(S-h_{i},h_{i+1}\right) )]] [[BR]]
   
   
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