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Jan 5, 2011, 9:13:17 AM (14 years ago)

Author:

Víctor de Buen Remiro

Comment:

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OfficialTolArchiveNetworkBysSamplerPostProccess

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 De esta forma tenemos la fórmula de aproximación
   
-  [[LatexEquation( \ln p_{i}=\mu_0+\ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k}+\xi_{i} )]]
+  [[LatexEquation( \ln p_{i}\backsimeq \mu_{0}+\ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k} )]]
   
-en la que el error se postulará por comodidad normal, homocedástico e independiente   
-
-  [[LatexEquation( \xi_{i}\sim N\left(0,\sigma\right) )]]
-    
-aunque cabría pensar que en los entornos de relieve más complicado el error puede ser mayor que en las zonas más suaves.
   
-Dicho de otra forma
-
-  [[LatexEquation( \ln p_{i}\sim N\left(\mu_{i},\sigma\right)  )]]
-
-con
-   
-  [[LatexEquation( \mu_{i}=\mu_{0}+\nu_{i}  )]]
-
-  [[LatexEquation( \nu_{i} = \ln\left(\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum}}\tilde{\pi}_{i}\left(z_{i,j}\right)\right)+n\ln r_{i,k}  )]]
-  
-== Verosimilitud de los parámetros ==
+== Verosimilitud del parámetro ==
 
 La probabilidad de que el número de puntos que caen dentro de la hiperesfera sea exactamente [[LatexEquation(h)]] para la binomial definida anteriormente es [[BR]][[BR]]
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   [[LatexEquation( \ln\left(P_{i}\right)=\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+h_{i}\ln p_{i}+\left(S-h_{i}\right)\ln\left(1-p_{i}\right) )]] [[BR]]
 
-La verosimilitud de [[LatexEquation(\mu_0)]] y [[LatexEquation(\sigma)]] será la suma ponderada por las repeticiones del producto de la probabilidad anterior por la densidad del error de aproximación, luego la expresión de su logaritmo será [[BR]]
-  [[LatexEquation( L\left(\mu_{0},\sigma\right)=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\left(\ln\left(P_{i}\left(\mu_{0}\right)\right)-\frac{S'}{2}\ln\left(2\pi\right)-\ln\left(\sigma\right)-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}}\right) )]] [[BR]]
+La verosimilitud de [[LatexEquation(\mu_0)]] será la suma ponderada por las repeticiones de la probabilidad, luego la expresión de su logaritmo será [[BR]]
+  [[LatexEquation( L\left(\mu_{0}\right)=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\ln\left(P_{i}\right) )]] [[BR]]
 
-Como esta expresión depende de los errores de aproximación que no son contrastables habría que simularlos, lo cual podría resultar muy costoso, o bien aproximar la esperanza 
-
-  [[LatexEquation( E\left[L\left(\mu_0,\sigma\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\left(E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]-\frac{S'}{2}\ln\left(2\pi\right)-S'\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2}S'\right) )]]
-
-Para ello se puede desarrollar para la función
-
-  [[LatexEquation( f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)=\alpha\left(\ln\left(\gamma\right)+\xi\right)+\beta\ln\left(1-\exp\left(\ln\left(\gamma\right)+\xi\right)\right) )]]
-  
-la serie de Taylor de orden 2 centrada en 0  
-  
-  [[LatexEquation( f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)=f\left(0\right)+\left(\alpha-\frac{\beta\gamma}{1-\gamma}\right)\xi-\frac{1}{2}\beta\frac{\gamma}{1-\gamma}\left(1+\frac{\gamma}{1-\gamma}\right)\xi^{2}+O\left(\xi^{3}\right) )]]
-  
-Si [[LatexEquation( \xi\sim N\left(0,\sigma\right) )]] entonces la esperanza de esta función es aproximadamente
-
-  [[LatexEquation( E\left[f\left(\xi;\alpha,\beta,\gamma\right)\right]\approx f\left(0\right)-\frac{1}{2}\frac{\gamma}{1-\gamma}\left(1+\frac{\gamma}{1-\gamma}\right)\beta\sigma^{2} )]]
-  
-Como resulta que 
-
-  [[LatexEquation( \ln\left(P_{i}\right)=\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+f\left(\xi_{i};h_{i},S-h_{i},e^{\mu_{i}}\right) )]]
-  
-su esperanza se puede aproximar como
-
-  [[LatexEquation( E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]\approx\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+E\left[f\left(\xi_i;h_{i},S-h_{i},e^{\mu_{i}}\right)\right]  )]]
-  
-es decir
-  
-  [[LatexEquation( E\left[\ln\left(P_{i}\right)\right]\approx\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+h_{i}\mu_{i}+\left(S-h_{i}\right)\ln\left(1-e^{\mu_{i}}\right)-\frac{1}{2}\frac{e^{\mu_{i}}}{1-e^{\mu_{i}}}\left(1+\frac{e^{\mu_{i}}}{1-e^{\mu_{i}}}\right)\left(S-h_{i}\right)\sigma^{2} )]]
   
 Para que esta expresión sea evaluable debe cumplirse
 
-  [[LatexEquation( 1-e^{\mu_{i}}>0\forall i=1\ldots S' )]]
+  [[LatexEquation( 1-e^{\p_{i}}>0\forall i=1\ldots S' )]]
  
-Así pues tendremos el problema de optimización bivariante
+Así pues tendremos el problema de optimización univariante
 
-  [[LatexEquation( \underset{\mu_{0},\sigma}{\max}\left\{ \underset{i=1}{\overset{S'}{\sum}}s_{i}\left(\ln\left(\begin{array}{c}S\\h_{i}\end{array}\right)+h_{i}\left(\mu_{0}+\nu_{i}\right)+\left(S-h_{i}\right)\ln\left(1-e^{\mu_{0}+\nu_{i}}\right)-\frac{1}{2}\frac{e^{\mu_{0}+\nu_{i}}}{1-e^{\mu_{0}+\nu_{i}}}\left(1+\frac{e^{\mu_{0}+\nu_{i}}}{1-e^{\mu_{0}+\nu_{i}}}\right)\left(S-h_{i}\right)\sigma^{2}-\frac{S'}{2}\ln\left(2\pi\right)-S'\ln\left(\sigma\right)-\frac{1}{2}S'\right)\right\}  )]]
+  [[LatexEquation(\underset{\mu_{0}}{\max}\left\{ E\left[L\left(\mu_{0}\right)\right]\right\} )]]
 
 Sujeto a
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   [[LatexEquation( \mu_0\leq-\underset{i=S'}{\max}\left\{ \ln\left(\pi_{i}+\underset{j=1}{\overset{k}{\prod}}\pi_{i,j}\right)+n\ln r_{i,k}\right\}  )]] [[BR]]
   
-  [[LatexEquation(\sigma>0)]]
-
   
 == Test de super-población ==